Question

閱讀下列材料：

我們定義：若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，則稱這條對角線叫這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形．如正方形就是和諧四邊形.

結(jié)合閱讀材料，完成下列問題：

（1） 下列哪個四邊形一定是和諧四邊形（ ）

A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形

（2）如圖，等腰Rt△ABD中，∠BAD=90°.若點C為平面上一點，AC為凸四邊形ABCD的和諧線，且AB=BC, 請直接寫出∠ABC的度數(shù).

 

Answer 1

（1） C ；（2）∠ABC的度數(shù)為60°或90°或150°.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)和和諧四邊形定義，直接得出結(jié)論.

（2）根據(jù)和諧四邊形定義，分AD=CD，AD=AC，AC=DC討論即可.

（1）根據(jù)和諧四邊形定義，平行四邊形，矩形，等腰梯形的對角線不能把四邊形分成兩個等腰三角形，菱形的一條對角線能把四邊形分成兩個等腰三角形夠．故選C.

（2）∵等腰Rt△ABD中，∠BAD=90°，∴AB=AD.

∵AC為凸四邊形ABCD的和諧線，且AB=BC，

∴分三種情況討論：

若AD=CD，如圖1，則凸四邊形ABCD是正方形，∠ABC=90°；

若AD=AC，如圖 2，則AB=AC=BC，△ABC是等邊三角形，∠ABC=60°；

若AC=DC，如圖 3，則可求∠ABC=150°.

考點：1.新定義；2．菱形的性質(zhì)；3．正方形的判定和性質(zhì)；4．等邊三角形的判定和性質(zhì)；5.分類思想的應(yīng)用.