Question

在一個風(fēng)箏ABCD中，AB=AD，BC=DC．
（1）分別在AB，AD的中點E，F(xiàn)處拉兩根彩線EC，F(xiàn)C，證明這兩根彩線的長度相等；
（2）如果AE=

1

3

AB，AF=

1

3

AD，那么彩線的長度相等嗎？如果AE=

1

4

AB，AF=

1

4

AD呢？因此你能得到什么結(jié)論？
（3）除了（1）（2）的條件外，你還能在哪些已知條件下得到兩根彩線的長度相等的結(jié)論？

Answer 1

考點：全等三角形的應(yīng)用

專題：

分析：（1）連接AC，先利用SSS證明△ABC≌△ADC，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得出∠1=∠2，再利用SAS證明△EAC≌△FAC，即可得到EC=FC；
（2）當AE=

1

3

AB，AF=

1

3

AD時，彩線的長度相等；當AE=

1

4

AB，AF=

1

4

AD時，彩線的長度相等；同上證明△ABC≌△ADC，△EAC≌△FAC，即可得到EC=FC；由此可得結(jié)論：當AE=

1

n

AB，AF=

1

n

AD時，這兩根彩線的長相等．
（3）當BE=DF時，兩根彩線的長相等．

解答：（1）證明：如圖，連結(jié)AC．
在△ABC與△ADC中，

AB=AD BC=DC AC=AC

，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠1=∠2．
∵E、F分別是AB、AD的中點，
∴AE=

1

2

AB，AF=

1

2

AD，
∵AB=AD，
∴AE=AF．
在△AEC與△AFC中，

AE=AF ∠1=∠2 AC=AC

，
∴△AEC≌△AFC（SAS），
∴EC=FC，
∴這兩根彩線的長相等；

（2）解：當AE=

1

3

AB，AF=

1

3

AD時，彩線的長度相等，理由如下：
連接AC，
在△ABC與△ADC中

AB=AD BC=DC AC=AC

，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠1=∠2．
∵AE=

1

3

AB，AF=

1

3

AD，
∴AE=AF．
在△AEC與△AFC中，

AE=AF ∠1=∠2 AC=AC

，
∴△AEC≌△AFC（SAS），
∴EC=FC，
∴這兩根彩線的長相等．
當AE=

1

4

AB，AF=

1

4

AD時，彩線的長度相等，理由如下：
連接AC，
在△ABC與△ADC中

AB=AD BC=DC AC=AC

，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠1=∠2．
∵AE=

1

4

AB，AF=

1

4

AD，
∴AE=AF．
在△AEC與△AFC中，

AE=AF ∠1=∠2 AC=AC

，
∴△AEC≌△AFC（SAS），
∴EC=FC，
∴這兩根彩線的長相等．
由此可得結(jié)論：當AE=

1

n

AB，AF=

1

n

AD時，這兩根彩線的長相等．

（3）解：當BE=DF時，兩根彩線的長相等．

點評：本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及學(xué)生對規(guī)律的探索能力，難度適中．本題通過作出輔助線，構(gòu)造三角形全等的條件，判定三角形全等，從而利用三角形全等的性質(zhì)得到邊相等．