Question

【題目】已知直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y＝x+4，交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的直線與直線AB關(guān)于y軸對(duì)稱？并求出直線BC的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在第（2）問的前提下，在直線AB上是否存在一點(diǎn)P，使得S△BCP＝2S△ABC？如果存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（0，4），A（﹣3，0）;（2）t＝3秒,直線BC解析式為：y＝﹣x+4;（3）見解析.

【解析】

（1）令＝0，則y＝4可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，令y＝0，則0＝x+4可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）先求出點(diǎn)A′的坐標(biāo)，即點(diǎn)C的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法可得直線BC的解析式；

（3）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)分別求解即可．

（1）令＝0，則y＝4，

則點(diǎn)B（0，4），

令y＝0，則0＝x+4，解得：x＝﹣3，

則點(diǎn)A（﹣3，0）．

（2）點(diǎn)A關(guān)于y軸點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)為A′（3，0），

所以當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到A′（3，0）時(shí)，直線BC與直線AB關(guān)于y軸對(duì)稱，則t＝＝3秒．

設(shè)此時(shí)直線BC的解析式為：y＝kx+b．

把點(diǎn)C（3，0）和點(diǎn)B（0，4）代入得：，

解得：．

故直線BC解析式為：y＝﹣x+4．

（3）存在，如圖，當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，S△BCP＝2S△ABC，則S△ACP＝S△ABC，

∴點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)B到x軸的距離，

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣4，

把y＝﹣4代入到y＝x+4中得：﹣4＝x+4，

解得：x＝﹣6，

則P（﹣6，﹣4）；

當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，S△BCP＝2S△ABC，則S△ACP＝3S△ABC，

∴點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)B到x軸的距離，

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為12，

把y＝12代入到y＝x+4中得：12＝x+4，

解得：x＝6，

則P'（6，12），

即：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣6，﹣4）或（6，12）．