【題目】如圖,在同一平面內(nèi),將兩個全等的等腰直角三角形和擺放在一起,為公共頂點,,它們的斜邊長為2,若固定不動,繞點旋轉(zhuǎn),、與邊的交點分別為、(點不與點重合,點不與點重合),設(shè),.
(1)請在圖(1)中找出兩對相似但不全等的三角形,并選取其中一對進行證明.
(2)求與a的函數(shù)關(guān)系式,直接寫出自變量a的取值范圍.
(3)以的斜邊所在的直線為軸,邊上的高所在的直線為軸,建立平面直角坐標(biāo)系如圖(2),若,求出點的坐標(biāo),猜想線段、和之間的關(guān)系,并通過計算加以驗證.
【答案】(1)△ACG∽△FAG,△FAG∽△FBA,證明見解析;(2)b=,1<a<2;(3)G(1-,0);BG2+CF2=FG2.
【解析】
(1)找到有公共角的和45°角的兩個三角形即可;
(2)證明△ACG∽△FBA,利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得與a的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)點F與點C重合時a為2,點G與點B重合時a為1,可得a的取值范圍
(3)先求得a=b=,可求點G(1-,0);根據(jù)BG=OB﹣OG,求得FG=BC﹣2BG=2-2,即可得到線段、和之間的關(guān)系.
(1)△ACG∽△FAG,△FAG∽△FBA.
∵∠GAF=∠C=45°,
∠AGF=∠AGC,
∴△ACG∽△FAG.類似證明△FAG∽△FBA;
(2)∵∠CAG=∠CAF+45°,∠BFA=∠CAF+45°,
∴∠CAG=∠BFA.
∵∠B=∠C=45°,
∴△ACG∽△FBA,
∴ =.
由題意可得CA=BA=.
∴=.∴b=.
自變量a的取值范圍為1<a<2.
(3)由BG=CF可得BF=CG,即a=b.
∵b=,
∴a=b=.
∵OB=OC=BC=1,
∴OF=OG=﹣1.
∴G(1-,0).
線段BG、FG和CF之間的關(guān)系為BG2+CF2=FG2;
∵BG=OB﹣OG=1-(-1)=2-=CF,
FG=BC﹣2BG= 2-2(2-)=2-2.
∵BG2+CF2=2(2-)2=12-8,FG2=(2-2)2=12-8.
∴BG2+CF2=FG2 .
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一次函數(shù)的圖象與軸和軸分別交于、兩點,與反比例函數(shù)的圖象分別交于、兩點.
(1)如圖,當(dāng),點在線段上(不與點、重合)時,過點作軸和軸的垂線,垂足為、.當(dāng)矩形的面積為2時,求出點的位置;
(2)如圖,當(dāng)時,在軸上是否存在點,使得以、、為頂點的三角形與相似?若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(3)若某個等腰三角形的一條邊長為5,另兩條邊長恰好是兩個函數(shù)圖象的交點橫坐標(biāo),求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】八年級(1)班學(xué)生在完成課題學(xué)習(xí)“體質(zhì)健康測試中的數(shù)據(jù)分析”后,利用課外活動時間積極參加體育鍛煉,每位同學(xué)從籃球、跳繩、立定跳遠(yuǎn)、長跑、鉛球中選一項進行訓(xùn)練,訓(xùn)練后都進行了測試.現(xiàn)將項目選擇情況及訓(xùn)練后籃球定時定點投籃測試成績整理后作出如下統(tǒng)計圖.
請你根據(jù)上面提供的信息回答下列問題:
(1)扇形圖中跳繩部分的扇形圓心角為 度,該班共有學(xué)生 人, 訓(xùn)練后籃球定時定點投籃平均每個人的進球數(shù)是 .
(2)老師決定從選擇鉛球訓(xùn)練的3名男生和1名女生中任選兩名學(xué)生先進行測試,請用列表或畫樹形圖的方法求恰好選中兩名男生的概率.
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【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y=x2﹣2mx+m2+2m+2的圖象與x軸有兩個交點.
(1)當(dāng)m=﹣2時,求二次函數(shù)的圖象與x軸交點的坐標(biāo);
(2)過點P(0,m﹣1)作直線1⊥y軸,二次函數(shù)圖象的頂點A在直線l與x軸之間(不包含點A在直線l上),求m的范圍;
(3)在(2)的條件下,設(shè)二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線l相交于點B,求△ABO的面積最大時m的值.
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【題目】對于反比例函數(shù)y=(k≠0),下列所給的四個結(jié)論中,正確的是( 。
A. 若點(3,6)在其圖象上,則(﹣3,6)也在其圖象上
B. 當(dāng)k>0時,y隨x的增大而減小
C. 過圖象上任一點P作x軸、y軸的線,垂足分別A、B,則矩形OAPB的面積為k
D. 反比例函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=﹣x成軸對稱
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知的三個頂點的坐標(biāo)分別為、、,是的邊上一點.
(1)將繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到,請在網(wǎng)格中畫出;
(2)將沿一定的方向平移后,點的對應(yīng)點為,請在網(wǎng)格中畫出上述平移后的,并寫出點的坐標(biāo):( );
(3)若以點為位似中心,作與成的位似,則與點對應(yīng)的點位似坐標(biāo)為______(不用作圖,直接寫出結(jié)果).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校組織首屆“數(shù)學(xué)文化節(jié)”活動,旨在引導(dǎo)同學(xué)們感受數(shù)學(xué)魅力,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng),活動中,九年級全體同學(xué)參加了“趣味數(shù)學(xué)知識競賽”.活動中獲得“數(shù)學(xué)之星”稱號的小穎得到了四枚紀(jì)念章,(除頭像外完全相同),如圖所示,四枚紀(jì)念章上分別印有四位數(shù)學(xué)家的頭像,她將紀(jì)念章背面朝上放在桌面上,然后從中隨機選取兩枚送給妹妹,求小穎送給妹妹的兩枚紀(jì)念章中恰好有一枚印有華羅庚頭像的概率.(提示:答題時可用序號表示相應(yīng)的紀(jì)念章)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△OAB中,頂點O(0,0),A(﹣3,4),B(3,4),將△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn),每次旋轉(zhuǎn)90°,則第2019次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時,點D的坐標(biāo)為( )
A.(3,﹣10)B.(10,3)C.(﹣10,﹣3)D.(10,﹣3)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,地面BD上兩根等長立柱AB,CD之間懸掛一根近似成拋物線y= x2﹣x+3的繩子.
(1)求繩子最低點離地面的距離;
(2)因?qū)嶋H需要,在離AB為3米的位置處用一根立柱MN撐起繩子(如圖2),使左邊拋物線F1的最低點距MN為1米,離地面1.8米,求MN的長;
(3)將立柱MN的長度提升為3米,通過調(diào)整MN的位置,使拋物線F2對應(yīng)函數(shù)的二次項系數(shù)始終為,設(shè)MN離AB的距離為m,拋物線F2的頂點離地面距離為k,當(dāng)2≤k≤2.5時,求m的取值范圍.
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