Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l₁過點A（1，0）且與y軸平行，直線l₂過點B（0，2）且與x軸平行，直線l₁與直線l₂相交于點P．點E為直線l₂上一動點，反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）的圖象過點E與直線l₁相交于點F．
（1）若點E與點P重合，求k的值；
（2）連接OE、OF、EF．請將△OEF的面積用k表示出來；
（3）是否存在點E使△OEF 的面積為△PEF面積的2倍？若存在，求出點E坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)中k=xy進(jìn)行解答即可；
（2）需要分類討論：分當(dāng)0＜k＜2，k=2，k＞2時三種情況來求△OEF的面積；
（3）根據(jù)（2）中的△PEF與△OEF的面積來求k的值，從而求得點E的坐標(biāo)．

解答：解：（1）根據(jù)題意知，P（1，2）．若點E與點P重合，則k=xy=1×2=2；

（2）①當(dāng)0＜k＜2時，如圖1所示．
根據(jù)題意知，四邊形OAPB是矩形，且BP=1，AP=2．
∵點E、F都在反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）的圖象上，
∴E（

k

2

，2），F(xiàn)（1，k）．則BE=

k

2

，PE=1-

k

2

，AF=k，PF=2-k，
∴S_△OEF=S_矩形OAPB-S_△OBE-S_△PEF-S_△OAF
=1×2-

1

2

×

k

2

×2-

1

2

×（1-

k

2

）×（2-k）-

1

2

×1×k
=-

1

4

k²+1；
②當(dāng)k=2時，由（1）知，△OEF不存在；
③當(dāng)k＞2時，如圖2所示．點E、F分別在P點的右側(cè)和上方，過E作x軸的垂線EC，垂足為C，過F作y軸的垂線FD，垂足為D，EC和FD相交于點G，則四邊形OCGD為矩形．
∵PF⊥PE，
∴S_△FPE=

1

2

PE•PF=

1

2

（

k

2

-1）（k-2）=

1

4

k²-k+1，
∴四邊形PFGE是矩形，
∴S_△PFE=S_△GEF，
∴S_△OEF=S_矩形OCGD-S_△DOF-S_△GEF-S_△OCE
=

k

2

•k-

k

2

-（

1

4

k²-k+1）-

k

2

=

1

4

k²-1；

（3）當(dāng)k＞0時，存在點E使△OEF 的面積為△PEF面積的2倍．理由如下：
①如圖1所示，當(dāng)0＜k＜2時，S_△PEF=

1

2

×（1-

k

2

）×（2-k）=

(2-k)2

4

，
S_△OEF=-

1

4

k²+1，
則

(2-k)2

4

×2=-

1

4

k²+1，
解得，k=2（舍去），或k=

2

3

；
②由（1）知，k=2時，△OEF與△PEF不存在；
③如圖2所示，當(dāng)k＞2時，S_△PEF=-

1

4

k²+k-1，S_△OEF=

1

4

k²-1，
則2（-

1

4

k²+k-1）=

1

4

k²-1，
解得k=

2

3

（不合題意，舍去），或k=2（不合題意，舍去），
則E點坐標(biāo)為：（3，2）．

點評：本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，再由直角三角形的面積公式和“分割法”來求△OEF的面積．