Question

已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=

2

3

mx-4m與x軸、y軸分別交點A、B，點C在線段AB上，且S_△AOB=2S_△AOC．
（1）求點C的坐標（用含有m的代數(shù)式表示）；
（2）將△AOC沿x軸翻折，當點C的對應(yīng)點C′恰好落在拋物線y=

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x2+

2

3

mx+m上時，求該拋物線的表達式；
（3）設(shè)點M為（2）中所求拋物線上一點，當以A、O、C、M為頂點的四邊形為平行四邊形時，請直接寫出所有滿足條件的點M的坐標．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）令x=0，即可求得B的縱坐標，令x=0求得x，則A、B的坐標即可求得，根據(jù)S_△AOB=2S_△AOC．可以得到C是AB的中點，據(jù)此即可求得C的坐標；
（2）求得C關(guān)于x軸的對稱點，代入拋物線的解析式，即可求得m的值，進而求得拋物線解析式；
（3）分AO是平行四邊形的對角線，OC是平行四邊形的對角線，AC是平行四邊形的對角線三種情況進行討論，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，即可求解．

解答：解：（1）在直線y=

2

3

mx-4m中，令x=0，解得：y=-4m，則B的坐標是（0，-4m），
令y=0，解得：x=6，則A的坐標是（6，0）．
∵S_△AOB=2S_△AOC．
∴C是AB的中點，
∴C的坐標是（3，-2m）；

（2）C′的坐標是（3，2m），
代入拋物線的解析式得：

3

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×9+2m+m=2m，
解得：m=-

3

2

，
則拋物線的解析式是：y=

3

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x²-

3

3

x-

3

2

；

（3）設(shè)M的坐標是（x，y），
C的坐標是（3，

3

），
當AO是對角線時，AO的中點是（3，0），則

3+x 2 =3 3 +y 2 =0

，
解得：

x=3 y=- 3

，
則M的坐標是（3，-

3

），滿足函數(shù)的解析式；
當AC是平行四邊形的對角線時，AC的中點是：（

9

2

，

3

2

），
則M的坐標是（9，

3

），
（9，

3

）是拋物線上的點；
當OC是平行四邊形的對角線時，OC的中點是（

3

2

，

3

2

），
則

6+x 2 = 3 2 y 2 = 3 2

，
解得：

x=-3 y= 3

，
則M的坐標是（-3，

3

）．
點（-3，

3

）是拋物線上的點．
則M的坐標是：（3，-

3

）或（9，

3

）或（-3，

3

）．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及平行四邊形的性質(zhì)，平行四邊形的對角線互相平分．