【題目】如圖,在平面直角坐標系中,△CDE的頂點C點坐標為C(1,﹣2),點D的橫坐標為,將△CDE繞點C旋轉到△CBO,點D的對應點B在x軸的另一個交點為點A.
(1)圖中,∠OCE等于∠_____;
(2)求拋物線的解析式;
(3)拋物線上是否存在點P,使S△PAE=S△CDE?若存在,直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)BCD;(2)y=x2﹣x﹣;(3)存在;(1+,1)或(1﹣,1)或(1+,﹣1)或(1﹣,1).
【解析】
(1)根據(jù)旋轉的性質(zhì)易得∠OCE=∠BCD;
(2)(2)作CH⊥OE于H,如圖,根據(jù)旋轉的性質(zhì)得CO=CE,CB=CD,OB=DE,則利用等腰三角形的性質(zhì)得OH=HE=1,則E點坐標為(2,0),設B(m,0),D(,n),再利用兩點間的距離公式求得m、n的值,然后設頂點式y=a(x-1)2-2,再把B點坐標代入求出a即可得到拋物線解析式;
(3)先利用拋物線的對稱性得到A(-1,0),再根據(jù)旋轉的性質(zhì)得△CDE≌△CBO,則S△CDE=S△CBO=3,設P(t,t2﹣t﹣),利用三角形面積公式得到關于t的方程,解關于t的一元二次方程求出t,從而可得到滿足條件的P點坐標.
解:(1)∵△CDE繞點C旋轉到△CBO,
∴∠OCE=∠BCD;
故答案為BCD;
(2)作CH⊥OE于H,如圖,
∵△CDE繞點C旋轉到△CBO,
∴CO=CE,CB=CD,OB=DE,
∴OH=HE=1,
∴OE=2,
∴E點坐標為(2,0),
設B(m,0),D(,n),
∵CD2=(1﹣)2+(﹣2﹣n)2 , CB2=(1﹣m)2+22 , DE2=(2﹣)2+n2 ,
∴(1﹣)2+(﹣2﹣n)2=(1﹣m)2+22 , (2﹣)2+n2=m2 ,
∴m=3,n=﹣,
∴B(3,0),
設拋物線解析式為y=a(x﹣1)2﹣2,
把B(3,0)代入得4a﹣2=0,解得a=,
∴拋物線解析式為y=(x﹣1)2﹣2,即y=x2﹣x﹣;
(3)存在.
A與點B關于直線x=1對稱,
∴A(﹣1,0),
∵△CDE繞點C旋轉到△CBO,
∴△CDE≌△CBO,
∴S△CDE=S△CBO=23=3,
設P(t,t2﹣t﹣),
∵S△PAE=S△CDE ,
∴3|t2﹣t﹣|=3,
∴t2﹣t﹣=1或t2﹣t﹣=﹣1,
解方程t2﹣t﹣=1得t1=1+,t2=1﹣,此時P點坐標為(1+,1)或(1﹣,1);
解方程t2﹣t﹣=﹣1得t1=1+,t2=1﹣,此時P點坐標為(1+span>,﹣1)或(1﹣,1);
綜上所述,滿足條件的P點坐標為(1+,1)或(1﹣,1)或(1+,﹣1)或(1﹣,1).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù))的對稱軸為x=1,與y軸的交點為c(0,4),y的最大值為5,頂點為M,過點D(0,1)且平行于x軸的直線與拋物線交于點A,B.
(Ⅰ)求該二次函數(shù)的解析式和點A、B的坐標;
(Ⅱ)點P是直線AC上的動點,若點P,點C,點M所構成的三角形與△BCD相似,求出所有點P的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某商場計劃購進一批甲、乙兩種玩具,已知一件甲種玩具的進價與一件乙種玩具的進價的和為40元,用90元購進甲種玩具的件數(shù)與用150元購進乙種玩具的件數(shù)相同.
(1)求每件甲種、乙種玩具的進價分別是多少元?
(2)商場計劃購進甲、乙兩種玩具共48件,其中甲種玩具的件數(shù)少于乙種玩具的件數(shù),商場決定此次進貨的總資金不超過1000元,求商場共有幾種進貨方案?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,一艘海輪位于燈塔P的南偏東60方向,距離燈塔100海里的A處,它計劃去往位于燈塔P的北偏東45方向上的B處.(參考數(shù)據(jù)≈1.414, ≈1.732, ≈2.449)
(1)問B處距離燈塔P有多遠?(結果精確到0.1海里)
(2)假設有一圓形暗礁區(qū)域,它的圓心位于射線PB上,距離燈塔190海里的點O處.圓形暗礁區(qū)域的半徑為50海里,進入這個區(qū)域,就有觸礁的危險.請判斷海輪到達B處是否有觸礁的危險,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,某數(shù)學活動小組要測量山坡上的電線桿PQ的高度.他們采取的方法是:先在地面上的點A處測得桿頂端點P的仰角是45°,再向前走到B點,測得桿頂端點P和桿底端點Q的仰角分別是60°和30°,這時只需要測出AB的長度就能通過計算求出電線桿PQ的高度.你同意他們的測量方案嗎?若同意,畫出計算時的圖形,簡要寫出計算的思路,不用求出具體值;若不同意,提出你的測量方案,并簡要寫出計算思路.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在一次軍事演習中,藍方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退,紅方在公路上的B處沿南偏西60°方向前進實施攔截,紅方行駛1000米到達C處后,因前方無法通行,紅方?jīng)Q定調(diào)整方向,再朝南偏西45°方向前進了相同的距離,剛好在D處成功攔截藍方,求攔截點D處到公路的距離(結果不取近似值).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,過點A作AE⊥BC,垂足為E,連接DE,F為線段DE上一點,且∠AFE=∠B
(1)求證:△ADF∽△DEC;
(2)若AB=8,AD=6,AF=4,求AE的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義:如果M個不同的正整數(shù),對其中的任意兩個數(shù),這兩個數(shù)的積能被這兩個數(shù)的和整除,則稱這組數(shù)為M個數(shù)的自然數(shù)組,如(3,6)為兩個數(shù)的自然數(shù)組,因為(3×6)能被(3+6)整除;又如(15,30,60)為三個數(shù)的自然數(shù)組,因為(15×30)能被(15+30)整除,(15×60)能被(15+60)整除,(30×60)能被(30+60)整除…
(1)求證:2n和n(n﹣2)(n≥3,n為整數(shù))組成的數(shù)組是兩個數(shù)的自然數(shù)組;
(2)若(4a,5a,6a)是三個數(shù)的自然數(shù)組,求滿足條件的三位正整數(shù)a,并判斷(4a+5,5a+5,6a+5)是否為自然數(shù)組.
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