【題目】如圖1,直線y=﹣x+b分別與x軸,y軸交于A6,0),B兩點,過點B的另一直線交x軸的負半軸于點C,且OBOC31

1)求直線BC的解析式;

2)直線yaxaa≠0)交AB于點E,交BC于點F,交x軸于點D,是否存在這樣的直線EF,使SBDESBDF?若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由;

3)如圖2,點PA點右側(cè)x軸上一動點,以P為直角頂點,BP為腰在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形△BPQ,連接QA并延長交y軸于點K.當P點運動時,K點的位置是否發(fā)生變化?若不變,求出它的坐標;如果會發(fā)生變化,請說明理由.

【答案】1y3x+6;(2)存在,a;(3K點的位置不發(fā)生變化,K0,﹣6

【解析】

1)首先確定B、C兩點坐標,利用待定系數(shù)法即可解決問題;

2)由SBDFSBDE可知只需DFDE,即DEF中點,聯(lián)立解析式求出E、F兩點坐標,利用中點坐標公式列出方程即可解決問題;

3)過點QQCx軸,證明BOP≌△PCQ,求出ACQC,即可推出∠QAC=∠OAK45°,即可解決問題.

解:(1)∵直線y=﹣x+bx軸交于A6,0),

0=﹣6+b,解得:b6

∴直線AB的解析式是:y=﹣x+6,

B0,6),

OB6,

OBOC31,

OC2

C(﹣20

設直線BC的解析式是ykx+b,

,解得

∴直線BC的解析式是:y3x+6;

2)存在.

理由: SBDFSBDE,

∴只需DFDE,即DEF中點,

∵點E為直線ABEF的交點,

聯(lián)立,解得:,

∴點E,),

∵點F為直線BCEF的交點,

聯(lián)立,解得:,

∴點F,),

DEF中點,

a0(舍去),a,

經(jīng)檢驗,a是原方程的解,

∴存在這樣的直線EFa的值為;

3K點的位置不發(fā)生變化.

理由:如圖2中,過點QQCx軸,設PAm

∵∠POB=∠PCQ=∠BPQ90°,

∴∠OPB+QPC90°,∠QPC+PQC90°

∴∠OPB=∠PQC,

PBPQ,

∴△BOP≌△PCQAAS),

BOPC6OPCQ6+m,

ACQC6+m,

∴∠QAC=∠OAK45°,

OAOK6,

K0,﹣6).

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