Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)是外一點(diǎn)，直線與相切于點(diǎn)，直線分別交于點(diǎn)、，，交于點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）當(dāng)的半徑為，時(shí)，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）21．

【解析】

（1）連接OB，由切線的性質(zhì)可得OB⊥PA，然后根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠CBD=90°，再根據(jù)等角的余角相等推出∠BCD=∠BOA，由等量代換得到∠CBO=∠BOA，即可證平行；

（2）先由勾股定理求出BD，然后由垂徑定理得到DE，求出OE，再利用△ABE∽△DOE的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求出AE．

（1）如圖，連接OB，

∵直線PA與相切于點(diǎn)B，

∴OB⊥PA，

∴∠PAO+∠BOA=90°

∵CD是的直徑

∴∠CBD=90°，∠PDB+∠BCD=90°

又∵∠PAO=∠PDB

∴∠BOA=∠BCD

∵OB=OC

∴∠BCD=∠CBO

∴∠CBO=∠BOA

∴OA∥BC

（2）∵半徑為10，，

∴BD=

由（1）可知∠CBD=90°，OA∥BC

∴OE⊥BD

∴是的中點(diǎn)，DE=BD=

∴

∵，

∴，

∴，即

∴．