Question

【題目】如圖，已知⊙O半徑為3，直徑AB垂直弦CD于E，過(guò)點(diǎn)A作∠DAF=∠DAB，過(guò)點(diǎn)D作AF的垂線，垂足為點(diǎn)F，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接CO并延長(zhǎng)與圓交于點(diǎn)G，連接EG．

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）若AD=DP，求的長(zhǎng)度；

（3）若tanC，求線段EG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）EG=

【解析】

（1）連接OD，如圖1，先證明∠ADO＝∠DAF得到OD∥AF，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)判斷DF⊥OD，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；
（2）先證明∠P＝∠DAF＝∠DAB，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠P＝30°，從而得到∠POD＝60°，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算；

（3）如圖，連接GD，根據(jù)tanC，設(shè)GD=，CD=，由勾股定理列出方程求出GD 與CD，再由垂徑定理得出DE，在Rt△GED中，利用勾股定理即可求出EG的長(zhǎng)度．

（1）證明：連接OD，如圖1，

∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ADO，
∵∠DAF＝∠DAB，
∴∠ADO＝∠DAF，
∴OD∥AF，
又∵DF⊥AF，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切線；

（2）∵AD＝DP
∴∠P＝∠DAF＝∠DAB，
而∠P＋∠DAF＋∠DAB＝90°，
∴∠P＝30°，
∴∠POD＝60°，

又∵半徑為3，

∴的長(zhǎng)度，

（3）如圖，連接GD，

∵CG是直徑，半徑為3，

∴∠CDG=90°，CG=6，

∵tanC，即

∴設(shè)GD=，CD=（a＞0）

在Rt△CGD中，由勾股定理可得：，

即，解得：或a=-2（舍去）

∴GD=4，CD=，

又∵AB⊥CD，

∴DE=CE=

在Rt△GED中，EG=，

∴EG=．