Question

已知，關(guān)于x的方程（k-1）x-2kx+k+2=0有解．
（1）求k的值；
（2）若x₁、x₂是方程的兩個(gè)根，且（x₁-x₂）的絕對(duì)值等于2，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：（1）分類討論：當(dāng)k-1=0，即k=1時(shí)，方程化為一元一次方程，有一個(gè)實(shí)數(shù)解；當(dāng)k-1≠0，即k≠1，根據(jù)平表示的意義得到△=4k²-4（k-1）（k+2）≥0，解得k≤2，即當(dāng)k≤2且k≠1時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，然后綜合兩種情況得到k的取值范圍為k≤2；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=

2k

k-1

，x₁•x₂=

k+2

k-1

，由（x₁-x₂）的絕對(duì)值等于2得到（x₁-x₂）²=4，利用完全平方公式變形得（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，則（

2k

k-1

）²-4•

k+2

k-1

=4，整理得k²-k-1=0，然后解方程后利用k的范圍確定k的值．

解答：解：（1）當(dāng)k-1=0，即k=1時(shí)，方程化為-2x+1+2=0，解得x=

3

2

；
當(dāng)k-1≠0，即k≠1，△=4k²-4（k-1）（k+2）≥0，解得k≤2，即當(dāng)k≤2且k≠1時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
所以k的取值范圍為k≤2；
（2）根據(jù)題意得x₁+x₂=

2k

k-1

，x₁•x₂=

k+2

k-1

，
∵（x₁-x₂）的絕對(duì)值等于2，
∴（x₁-x₂）²=4，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，
∴（

2k

k-1

）²-4•

k+2

k-1

=4，
整理得k²-k-1=0，解得k=

1± 5

2

，
∵k≤2，
∴k=

1- 5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．