Question

如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠A=60°，點E是CD的中點，F(xiàn)G=1，F(xiàn)G兩端點F，G分別在AB，AD上滑動，當AF=

 

時，△BEC與以A，F(xiàn)，G為頂點的三角形相似．

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì),相似三角形的判定

專題：動點型

分析：連接BD，根據(jù)菱形的對角相等可得∠C=∠A=60°，然后判斷出△BCD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BE⊥CD，然后分∠AFG=90°和∠AGF=90°兩種情況討論求解．

解答：解：如圖，連接BD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠C=∠A=60°，BC=CD，
∴△BCD是等邊三角形，
∵點E是CD的中點，
∴BE⊥CD，
∵△BEC與以A，F(xiàn)，G為頂點的三角形相似，
∴∠AFG=90°時，

FG

AF

=tan60°，
即

1

AF

=

3

，
解得AF=

3

3

，
∠AGF=90°時，

FG

AF

=sin60°，
即

1

AF

=

3

2

，
解得AF=

2 3

3

，
綜上所述，AF的長度是

3

3

或

2 3

3

．
故答案為：

3

3

或

2 3

3

．

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點在于分情況討論．