Question

如圖在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D是AC的中點，且∠A＋∠CDB＝90°，過點A、D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點E.

(1)求證：直線BD與⊙O相切；

(2)若AD：AE＝4：5，BC＝6，求⊙O的直徑．

 

Answer 1

（1）見解析 （2）5

【解析】

(1)證明：連接OD，在△AOD中，OA＝OD，

∴∠A＝∠ODA，

又∵∠A＋∠CDB＝90°

∴∠ODA＋∠CDB＝90°，

∴∠BDO＝180°－90°＝90°，即OD⊥BD，

∴BD與⊙O相切．

(2)【解析】
連接DE，∵AE是⊙O的直徑，

∴∠ADE＝90°，

∴DE∥BC.

又∵D是AC的中點，∴AE＝BE.

∴△AED∽△ABC.

∴AC∶AB＝AD∶AE.

∵AC∶AB＝4∶5，

令AC＝4x，AB＝5x，則BC＝3x.

∵BC＝6，∴AB＝10，

∴AE＝5，∴⊙O的直徑為5.