Question

如圖所示，已知點O為△ABC的內(nèi)心，連AO、BO、CO，過點O的直線分別交邊AB、AC于點M、N，
（1）若∠BAC=70°，那么∠BOC=

 

°；
（2）如圖1所示，若MN∥BC，BM=2，CN=3，求線段MN的長；
（3）如圖2所示，若MN⊥AO，BM=2，CN=3，求線段MN的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),角平分線的定義,平行線的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，根據(jù)三角形的內(nèi)心求出∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，求出∠OBC+∠OCB=55°，即可得出答案；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠MOB=∠OBC，求出∠MOB=∠ABO，根據(jù)等腰三角形的判定得出BM=MO，同理NO=CN=3，求出即可；
（3）求出∠5=∠7，根據(jù)三角形的內(nèi)心求出∠4=∠6=

1

2

∠BAC，∠12=∠10=

1

2

∠ABC，∠8=∠9=

1

2

∠ACB，求出∠1=∠2=∠3，∠10=∠11=∠12，根據(jù)相似三角形的判定得出△MBO∽△NOC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出

MB

NO

=

MO

NC

，代入求出即可．

解答：解：（1）如圖1，∵∠BAC=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，
∴點O為△ABC的內(nèi)心，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

×110°=55°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-55°=125°，
故答案為：125°；

（2）∵MN∥BC，
∴∠MOB=∠OBC，
∵O為△ABC的內(nèi)心，
∴∠ABO=∠OBC，
∴∠MOB=∠ABO，
∴BM=MO，
∵BM=2，
∴MO=2，
同理NO=CN=3，
∴MN=2+3=5，
即MN=5；  

（3）如圖2，
∵AO⊥MN，O為△ABC的內(nèi)心，
∴∠4=∠6，∠AOM=∠AON=90°，
∴∠5=∠7，
∵∠3+∠5=180°，∠2+∠7=180°，
∴∠2=∠3，
∵O為△ABC的內(nèi)心，
∴∠4=∠6=

1

2

∠BAC，∠12=∠10=

1

2

∠ABC，∠8=∠9=

1

2

∠ACB，
∴∠1=180°-（∠10+∠8）
=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）
=180°-

1

2

（180°-∠BAC）
=90°+

1

2

∠BAC
=90°+∠4，
∠2=180°-∠7
=180°-

1

2

（180°-∠BAC）
=90°+

1

2

∠BAC
=90°+∠4，
∴∠1=∠2=∠3，
∵∠1+∠8+∠10=180°，∠2+∠11+∠9=180°，
∵∠8=∠9，
∴∠10=∠11=∠12，
∴△MBO∽△NOC，
∴

MB

NO

=

MO

NC

，
∵OM=ON，MB=2，NC=3，
∴MO²=MB•CN=6，
∴MO=

6

，
∴MN=2

6

．

點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)心和內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能綜合運用所學(xué)性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強，難度偏大．