Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，四邊形AEDF為菱形．

（1）求證：△ABE≌△DCE；

（2）試探究：當(dāng)矩形ABCD邊長滿足什么關(guān)系時(shí)，菱形AEDF為正方形？請(qǐng)說明理由．

 

 

Answer 1

(1)證明見解析；（2）當(dāng)BC=2AB時(shí)，菱形AEDF為正方形．理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠B=∠C=90°，AB=DC，根據(jù)菱形的四條邊都相等可得AE=DE，然后利用“HL”證明Rt△ABE和Rt△DCE全等即可；

（2）BC=2AB時(shí)，菱形AEDF為正方形．根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=CE，然后求出AB=BE，從而求出∠BAE=∠AEB=45°，同理可得∠DEC=45°，然后求出∠AED=90°，最后根據(jù)有一個(gè)角是90°的菱形是正方形判斷．

（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠B=∠C=90°，AB=DC，

∵四邊形AEDF為菱形，

∴AE=DE，

在Rt△ABE和Rt△DCE中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）；

（2）【解析】
當(dāng)BC=2AB時(shí)，菱形AEDF為正方形．

理由：∵Rt△ABE≌Rt△DCE，

∴BE=CE，∠AEB=∠DEC，

又∵BC=2AB，

∴AB=BE，

∴∠BAE=∠AEB=45°，

同理可得，∠DEC=45°，

∵∠AEB+∠AED+∠DEC=180°，

∴∠AED=180°-∠AEB-∠DEC=90°，

∴菱形AEDF是正方形．

考點(diǎn)：1.矩形的性質(zhì)；2.菱形的性質(zhì)；3.正方形的判定;4. 全等三角形的判定與性質(zhì)．