Question

探究與思考：在計算m+m²+m³+…+mⁿ的和時，我們可以用以下思路：
令A=m+m²+m³+…+mⁿ，則mA=m²+m³+…+mⁿ⁺¹；
（1）試利用以上思路求出m+m²+m³+…+mⁿ的和；
（2）請利用（1）求出m+2m²+3m³+…+nmⁿ的和．

Answer 1

考點：整式的混合運算

專題：規(guī)律型,整體思想

分析：（1）根據(jù)已知條件，所求的式子乘以m，然后減去原式，即可求解；
（2）求出所求的式子的二倍，相加時首項與尾項相加，然后利用（1）的結論即可求解．

解答：解：（1）設A=m+m²+m³+…+mⁿ，則mA=m²+m³+…+mⁿ⁺¹．
∴mA-A=mⁿ⁺¹-m，即（m-1）A=mⁿ⁺¹-m
∴A=

mn+1-m

m-1

（2）m+2m²+3m³+…+nmⁿ+（m+2m²+3m³+…+nmⁿ）=（n+1）（m+m²+m³+…+mⁿ）=（n+1）

mn+1-m

m-1

∴m+2m²+3m³+…+nmⁿ=

(n+1)(mn+1-m)

2(m-1)

點評：本題考查了整式的混合運算，正確理解已知的式子i，求得（1）中式子的結果是關鍵．