Question

探究發(fā)現(xiàn)：

如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E在直線BC上，∠AEF=60°，EF交等邊三角形外角平分線CF于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，有AE=EF成立；

數(shù)學(xué)思考：某數(shù)學(xué)興趣小組在探究AE，EF的關(guān)系時(shí)，運(yùn)用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)驗(yàn)證得出如下結(jié)論：

當(dāng)點(diǎn)E是直線BC上（B，C除外）（其它條件不變），結(jié)論AE=EF仍然成立．請(qǐng)你從“點(diǎn)E在線段BC上”；“點(diǎn)E在線段BC延長(zhǎng)線”；“點(diǎn)E在線段BC反向延長(zhǎng)線上”三種情況中，任選一種情況，在圖2中畫(huà)出圖形，并證明AE=EF．

拓展應(yīng)用：當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，若CE=BC，在圖3中畫(huà)出圖形，并運(yùn)用上述結(jié)論求出的值．

 

Answer 1

證明見(jiàn)試題解析，．

【解析】

試題分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得AB=BC，∠B=∠ACB=60°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE，根據(jù)ASA，可得△AGE≌△ECF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得結(jié)論；

根據(jù)等邊三角形的判定，可得△AEF是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形相似，可得△ABC與△AEF的關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得AC與AH的關(guān)系，AC與AE的關(guān)系，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方，可得答案．

試題解析：如圖一，在AB上截取AG，使AG=EC，連接EG，

∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°．∵AG=EC，∴BG=BE，∴△BEG是等邊三角形，∠BGE=60°，∴∠AGE=120°．∵FC是外角的平分線，∴∠ECF=120°=∠AGE．∵∠AEC是△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE．∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC，∴∠GAE=∠FEC．在△AGE和△ECF中，∵∠GAE=∠CEF，AG=EC，∠AGE=∠ECF，∴△AGE≌△ECF（ASA），∴AE=EF；

拓展應(yīng)用：如圖二：

∵△ABC是等邊三角形，BC=CE，∴CE=BC=AC，∴∠CAH=30°，作CH⊥AE于H點(diǎn)，∴∠AHC=90°．∴CH=AC，AH=AC，∵AC=CE，CH⊥AE，∴AE=2AH=AC，∴，由數(shù)學(xué)思考得AE=EF，又∵∠AEF=60°，∴△AEF是等邊三角形，∴△ABC ∽△AEF，∴===．

考點(diǎn)：1．相似形綜合題；2．全等三角形的判定與性質(zhì)．