Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB=AC，D，E分別在AB，AC上，AD=AE，將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針任意旋轉(zhuǎn).

（1）發(fā)現(xiàn)：如圖2，連結(jié)BD，CE，若∠BAC=60°，D點(diǎn)恰在線段BE上，則∠BEC= °；

（2）探究：如圖3，連結(jié)BD，CE，并交于點(diǎn)F，求證：∠BFC=∠BAC；

（3）拓展：如圖4，若∠BAC=90°，AB=5，AD=2，連結(jié)CD，BE，請(qǐng)直接寫出四邊形BCDE的最大面積.

Answer 1

【答案】（1）60；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）首先可知是等邊三角形，可得，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得，又易證，由三角形全等的性質(zhì)得，最后根據(jù)即可得；

（2）由定理可證，由三角形全等的性質(zhì)得，如圖（見解析），設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)O，因，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即得證；

（3）分析可知，要使四邊形BCDE的最大面積，也就是要使和的面積最大，如圖（見解析），過點(diǎn)E作，過點(diǎn)D作交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，易證，由三角形全等的性質(zhì)可得，從而可得和的面積相等，所以現(xiàn)在要求的是的最大面積，AC的長(zhǎng)是定長(zhǎng)，所以高GD要最大，可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到時(shí)，GD取得最大值AD，此時(shí)四邊形BCDE由四個(gè)直角三角形組成，然后求其面積之和即可得出答案.

（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：

是等邊三角形

又

又

故答案為：60；

（2）如圖，設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)O

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：

又

，即

在中，由三角形內(nèi)角和定理得：

在中，由三角形內(nèi)角和定理得：

即；

（3）如圖，過點(diǎn)E作，過點(diǎn)D作交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)G

（旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)）

又

由題意可知，要使四邊形BCDE的最大面積，也就是要使和的面積最大

因此只要的面積最大即可

又因AC的長(zhǎng)是定長(zhǎng)，所以高GD要最大

當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到時(shí)，GD取得最大值AD

此時(shí)四邊形BCDE由四個(gè)直角三角形組成

故四邊形BCDE的最大面積為：

.