Question

矩形紙片ABCD中，已知AD=8，AB=6，E是邊BC上的點(diǎn)，以AE為折痕折疊紙片，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接FC，當(dāng)△EFC為直角三角形時(shí)，BE的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：分類討論

分析：分兩種情況：①當(dāng)∠EFC=90°時(shí)，先判斷出點(diǎn)F在對(duì)角線AC上，利用勾股定理列式求出AC，設(shè)BE=x，表示出CE，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得AF=AB，EF=BE，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列出方程求解即可；②當(dāng)∠CEF=90°時(shí)，判斷出四邊形ABEF是正方形，根據(jù)正方形的四條邊都相等可得BE=AB．

解答：解：①當(dāng)∠EFC=90°時(shí)，如圖1，
∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，
∴點(diǎn)A、F、C共線，
∵矩形ABCD的邊AD=8，
∴BC=AD=8，
在Rt△ABC中，AC=

AB2+BC2

=

62+82

=10，
設(shè)BE=x，則CE=BC-BE=8-x，
由翻折的性質(zhì)得，AF=AB=6，EF=BE=x，
∴CF=AC-AF=10-6=4，
在Rt△CEF中，EF²+CF²=CE²，
即x²+4²=（8-x）²，
解得x=3，
即BE=3；
②當(dāng)∠CEF=90°時(shí)，如圖2，
由翻折的性質(zhì)得，∠AEB=∠AEF=

1

2

×90°=45°，
∴四邊形ABEF是正方形，
∴BE=AB=6，
綜上所述，BE的長(zhǎng)為3或6．
故答案為：3或6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折變化的性質(zhì)，勾股定理，正方形的判定與性質(zhì)，此類題目，利用勾股定理列出方程求解是常用的方法，本題難點(diǎn)在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．