Question

（1）如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E． 證明：DE=BD+CE．

如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．

（3）拓展與應(yīng)用：如圖3，D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）成立，理由詳見解析；（3）△DEF是等邊三角形.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根據(jù)等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根據(jù)“AAS”可判斷△ADB≌△CEA，則AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；

（2）與（1）的證明方法一樣；

（3）與前面的結(jié)論得到△ADB≌△CEA，則BD=AE，∠DBA=∠CAE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠ABF=∠CAF=60°，則∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，則∠DBF=∠FAE，利用“SAS”可判斷△DBF≌△EAF，所以DF=EF，∠BFD=∠AFE，于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，根據(jù)等邊三角形的判定方法可得到△DEF為等邊三角形．

試題解析：（1）證明： ∵BD⊥DE，CE⊥DE，

∴∠BDA=∠CEA=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠ABD=∠CAE，

在△ABD和△CAE中，

∠BDA＝∠CEA，∠ABD＝∠CAE，AB＝AC，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴BD=AE，CE=DA，

∴DE=AE+DA=BD+CE；

（2）【解析】
成立，證明如下：

∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=a，

∴∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，

∴∠DBA=∠CAE，

在△ABD和△CAE中，

∠BDA＝∠CEA，∠ABD＝∠CAE，AB＝AC，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴BD=AE，CE=DA，

∴DE=AE+DA=BD+CE．

△DEF為等邊三角形，理由如下：

∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，

∴BF=AF=AB=AC=CF，

∠BAF=∠CAF=∠ABF=60°，

∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°，

∴∠DBA+∠DAB=∠CAE+∠DAB=60°，

∴∠DBA=∠CAE．

在△BAD和△ACE中，

∠BDA＝∠AEC，∠DBA＝∠CAE，BA＝AC，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴BD=AE，∠DBA=∠CAE．

∵∠ABF=∠CAF=60°，

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，

∴∠DBF=∠FAE．

在△BDF和△AEF中，

FB＝FA，∠DBF＝∠FAE，BD＝AE，

∴△DBF≌△EAF（SAS），

∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，

∴△DEF為等邊三角形．

考點(diǎn)：1、全等三角形的判定和性質(zhì)；2、等邊三角形的判定.