Question

（1）請在圖1中作出兩條直線，且它們將圓面四等分；
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，點P是AD的中點，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在邊BC上是否存在一點Q，使PQ所在直線將四邊形ABCD的年級分成相等的兩部分？若存在，求出BQ的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖

專題：

分析：（1）畫出互相垂直的兩直徑即可；
（2）當(dāng)BQ=CD=b時，PQ將四邊形ABCD的面積二等份，連接BP并延長交CD的延長線于點E，證△ABP≌△DEP求出BP=EP，連接CP，求出S_△BPC=S_△EPC，作PF⊥CD，PG⊥BC，由BC=AB+CD=DE+CD=CE，求出S_△BPC-S_△CQP+S_△ABP=S_△CPE-S_△DEP+S_△CQP，即可得出S_{四邊形ABQP}=S_{四邊形CDPQ}即可．

解答：解：（1）如圖所示：

（2）存在，當(dāng)BQ=CD=b時，PQ將四邊形ABCD的面積二等份，
理由是：如圖③，連接BP并延長交CD的延長線于點E，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠EDP，
在△ABP和△DEP中

∠A=∠EDP AP=DP ∠APB=∠DPE

，
∴△ABP≌△DEP（ASA），
∴BP=EP，
連接CP，
∵△BPC的邊BP和△EPC的邊EP上的高相等，
又∵BP=EP，
∴S_△BPC=S_△EPC，
作PF⊥CD，PG⊥BC，則BC=AB+CD=DE+CD=CE，
由三角形面積公式得：PF=PG，
在CB上截取CQ=DE=AB=a，則S_△CQP=S_△DEP=S_△ABP
∴S_△BPC-S_△CQP+S_△ABP=S_△CPE-S_△DEP+S_△CQP
即：S_{四邊形ABQP}=S_{四邊形CDPQ}，
∵BC=AB+CD=a+b，
∴BQ=b，
∴當(dāng)BQ=b時，直線PQ將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分．

點評：本題考查了應(yīng)用設(shè)計與作圖以及圖形面積求法等知識，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理的能力，注意：等底等高的三角形的面積相等．