Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A在x正半軸，以點(diǎn)A為圓心作⊙A，點(diǎn)M（4，4）在⊙A上，直線y=﹣x+b與圓相切于點(diǎn)M，分別交x軸、y軸于B、C兩點(diǎn)．

（1）直接寫出b的值和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求點(diǎn)A的坐標(biāo)和圓的半徑；

（3）若EF切⊙A于點(diǎn)F分別交AB和BC于G、E，且FE⊥BC，求的值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+7；B（，0）（2）圓A的半徑為5（3）3

【解析】試題分析：（1）將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線的解析式可求得b的值，由b的值可得到直線的解析式，然后令y=0可求得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，于是得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）由相互垂直的兩條直線的一次項(xiàng)系數(shù)為-1，可設(shè)直線AM的解析式為

然后將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入可求得c的值，然后令y=0可求得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，最后依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可求得圓A的半徑．
（3）如圖1所示：連接AF、AM．先證明四邊形AFEM為正方形，于是可求得ME=5，然后在△ABM中依據(jù)勾股定理可求得MB的長(zhǎng)，從而可求得BE的長(zhǎng)，接下來，證明由相似三角形的性質(zhì)可求得答案．

試題解析：

(1)∵點(diǎn)M在直線上，

解得：b=7.

∴直線的解析式為

∵當(dāng)y=0時(shí), ,解得：

(2)∵BC是圓A的切線，

∴AM⊥BC.

設(shè)直線AM的解析式為

∵將M(4,4)代入得解得：

∴直線AM的解析式為

∵當(dāng)y=0時(shí), 解得x=1，

∴A(1,0).

∵由兩點(diǎn)間的距離公式可知

∴圓A的半徑為5.

(3)如圖1所示：連接AF、AM.

∵BC、EF是圓A的切線，

∴AM⊥BC，AF⊥EF.

又∵BC⊥EF，

∴四邊形AFEM為矩形，

又∵AM=AF，

∴四邊形AFEM為正方形，

∴ME=AF=5.

∵在Rt△AMB中,

∴△AGF∽△BGE.

即