Question

【題目】閱讀并解決問(wèn)題：有趣的勾股數(shù)組

定義：一般地，若三角形三邊長(zhǎng)，，都是正整數(shù)，且滿足，那么數(shù)組稱為勾股數(shù)組．

關(guān)于勾股數(shù)組的研究我國(guó)歷史上有過(guò)非常輝煌的成就，根據(jù)我國(guó)古代數(shù)學(xué)書《周髀算經(jīng)》記載，在約公元前1100年，人們就已經(jīng)知道“勾廣三，股修四，徑隅五”（古人把較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)直角邊稱為股，而斜邊則成稱為弦），即知道了勾股數(shù)組，后來(lái)人們發(fā)現(xiàn)并證明了勾股定理．

公元263年魏朝劉徽注《九章算術(shù)》，文中除提到勾股數(shù)組以外，還提到，，，等勾股數(shù)組．

設(shè)，是兩個(gè)正整數(shù)，且，三角形三邊長(zhǎng)，，都是正整數(shù)．

下表中的，，可以組成一些有規(guī)律的勾股數(shù)組：

2	1	3	4	5
3	2	5	12	13
4	1	15	8	17
4	3	7	24	25
5	2	21	20	29
5	4	9	40	41
6	1	35	12	37
6	5	11	60	61
7	2	45	28	53
7	4	33	56	65
7	6	13	84	85

請(qǐng)你仔細(xì)觀察這個(gè)表格，解答下列問(wèn)題：

（1）表中和，的等量關(guān)系式是________；

（2）表中的勾股數(shù)組用只含，的代數(shù)式表示為________；

（3）小明通過(guò)研究表中數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：若勾股數(shù)組中，弦與股的差為1，則勾股數(shù)的形式可表述為（，為正整數(shù)），請(qǐng)你用含的代數(shù)式表示．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可發(fā)現(xiàn)a正好為m和n的平方差；

（2）仿照（1），再找出b、c與m、n的關(guān)系即可得到答案；

（3）利用勾股定理列式整理即可得出答案.

解：（1），

，

，

，

……，

；

（2）據(jù)表中的數(shù)據(jù)規(guī)律可知：

，，，

所以表中的勾股數(shù)組用只含，的代數(shù)式表示為；

（3）根據(jù)題意，得，

解得．