【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c(a≠0)與x軸、y軸分別交于點A(3,0)、B(0,3)兩點.

(1)試求拋物線的解析式和直線AB的解析式;
(2)動點E從O點沿OA方向以1個單位/秒的速度向終點A勻速運動,同時動點F沿AB方向以 個單位/秒的速度向終點B勻速運動,E、F任意一點到達終點時另一個點停止運動,連接EF,設(shè)運動時間為t,當t為何值時△AEF為直角三角形?
(3)拋物線位于第一象限的圖象上是否存在一點P,使△PAB面積最大?如果存在,請求出點P的坐標;如果不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:∵拋物線y=﹣x2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A(3,0),B(0,3),

,解得 ,

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3,

設(shè)直線y=kx+n,

,解得 ,

∴直線AB的解析式為y=x+3


(2)

解:由題意可知OE=t,則AF= t,AE=3﹣t,

∵△AEF為直角三角形,

∴有∠AEF=90°和∠AFE=90°兩種情況,

①當∠AEF=90°時,則有△AOB∽△AEF,

= ,即 = ,解得t= ;

②當∠AFE=90°時,則有△AOB∽△AFE,

= ,即 = ,解得t=1;

綜上可知當t為 或1時△AEF為直角三角形


(3)

解:如圖,過P作PC∥y,AB于點C,交x軸于點D,

設(shè)P(x,﹣x2+2x+3)(0<x<3),則C(x,﹣x+3),

∵P為拋物線在第一象限內(nèi)的點,

∴PC=﹣x2+2x+3﹣(﹣x+3)=﹣x2+3x,

∴SPAB=SPBC+SPAC= PCOD+ PCAD= PCOA= PC= (﹣x2+3x)=﹣ (x﹣ 2+ ,

∵﹣ <0,

∴當x= 時,SPAB有最大值 ,此時P點坐標為( , ),

綜上可知存在滿足條件的點P,其坐標為(


【解析】(1)根據(jù)A、B兩點的坐標,利用待定系數(shù)法可求得拋物線和直線AB的解析式;(2)骼t可表示出OE、AF、AE的長,分∠AEF=90°和∠AFE=90°兩種情況,可分別證明△AOB∽△AEF和△AOB∽△AFE,利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程,可求得t的值;(3)過P作PC∥y,AB于點C,交x軸于點D,可設(shè)出P點坐標,用P點坐標可表示也PC的長,從而可表示出△PAB的面積,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其取得最大值時P點的坐標.
【考點精析】認真審題,首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小),還要掌握相似三角形的性質(zhì)(對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

練習冊系列答案
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(1) 求點A的坐標

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(1)求k的值;

(2)若點P(x,y)是該直線上的一個動點,探究:當OPA的面積為27時,求點P的坐標.

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證明:∵DEAB(已知),

∴∠A=∠CED   

又∵∠BFD=∠CED(已知),

∴∠A=∠BFD   

DFAE   

∴∠EGF+∠AEG180°(   

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(1)求證:PB為⊙O的切線;
(2)若tan∠ABE= ,求sin∠E.

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