Question

已知開口向上的拋物線y=ax²+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（1，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)D（0，3）．
（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)A作直線l⊥x軸，并將拋物線沿直線l翻折得到新的拋物線y₁，求拋物線y₁的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：

分析：（1）將點(diǎn)A（1，0）、B（3，0），D（0，3）代入拋物線y=ax²+bx+c，即可求得解析式，把解析式化為頂點(diǎn)式，即可找出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由對(duì)稱性知：y₁與x軸的交點(diǎn)為（1，0）（-1，0），頂點(diǎn)為（0，-1），所以可求得y1=x2-1．

解答：解：（1）由已知得：

a+b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，解得

a=1 b=-4 c=3

，
∴拋物線的解析式為：y=x²-4x+3，
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，-1）；
（2）由對(duì)稱性知：y₁與x軸的交點(diǎn)為（1，0）（-1，0），頂點(diǎn)為（0，-1），
設(shè)y₁=ax²+bx+c，

a+b+c=0 a-b+c=0 c=-1

，
解得

a=1 b=0 c=-1

，
∴y1=x2-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）．頂點(diǎn)式：y=a（x-h）²+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)；交點(diǎn)式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．