Question

已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=4，如圖把邊長分別為x₁，x₂，x₃，…，x_n的n個(gè)正方形依次放入△ABC中，則第n個(gè)正方形的邊長x_n=

 

（用含n的式子表示，n≥1）．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)正方形的對(duì)邊平行證明△BDF∽△BCA，然后利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式即可求出第1個(gè)正方形的邊長，同理利用前兩個(gè)小正方形上方的三角形相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式即可求出前兩個(gè)小正方形的邊長的關(guān)系，以此類推，找出規(guī)律便可求出第n個(gè)正方形的邊長．

解答：解：如下圖所示，

∵四邊形DCEF是正方形，
∴DF∥CE，
∴△BDF∽△BCA，
∴DF：AC=BD：BC，
即x₁：4=（1-x₁）：1
解得x₁=

4

5

，
同理，前兩個(gè)小正方形上方的三角形相似，

x1

x2

=

1-x1

x1-x2

解得x₂=x12
同理可得，

x1

x3

=

1-x1

x2-x3

，x₃=x₁x₂=x13
…
以此類推，第n個(gè)正方形的邊長x_n=(

4

5

)n．
故答案為：(

4

5

)n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例找出后面正方形的邊長與第一個(gè)正方形的邊長的關(guān)系．