Question

已知BN平分∠ABC，CM平分∠ACB，AM⊥CM，AN⊥BN；
（1）求證：MN∥BC；
（2）MN與AB，BC，AC間的關(guān)系．

Answer 1

考點：三角形中位線定理,等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖，延長AN、BC交于點E，構(gòu)建等腰△ABE，則點N是AE的中點；同理點M是AF的中點，所以MN是△AFE的中位線，則MN∥BC；
（2）AB+AC-BC=2MN．利用（1）中的全等三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理得到：GH=

1

2

BC，GN=

1

2

BE=

1

2

AB，MH=

1

2

FC=

1

2

AC，所以根據(jù)線段間的數(shù)量關(guān)系得到：MN=GN+MH-GH=

1

2

AB+

1

2

AC-

1

2

BC，即AB+AC-BC=2MN．

解答：（1）證明：如圖，延長AN、BC交于點E．
∵AN⊥BN，
∴∠ANB=∠ENB=90°．
又∵BN平分∠ABC，
∴∠ABN=∠EBN．
在△ABN與△EBN中，

∠ANB=∠ENB BN=BN ∠ABN=∠EBN

，
∴△ABN≌△EBN（ASA），
∴AN=EN，即點N是AE的中點．
同理，延長AM、CB交于點F，則易證點M是AF的中點，
∴MN是△AFE的中位線，
∴MN∥FE，則MN∥BC；

（2）AB+AC-BC=2MN．理由如下：
設(shè)MN與AB、AC分別交于點G、H．
由（1）知，△ABN≌△EBN，則AB=BE．
同理，AC=FC．
∵MN是△AFE的中位線，
∴GH=

1

2

BC，GN是△ABE的中位線，
∴GN=

1

2

BE=

1

2

AB．
同理，MH=

1

2

FC=

1

2

AC，
∴MN=GN+MH-GH=

1

2

AB+

1

2

AC-

1

2

BC，
即AB+AC-BC=2MN．

點評：此題主要考查了三角形中位線定理，全等三角形的判定，關(guān)鍵是證出△ABN≌△EBN，得到AB=BE，AC=FC，熟記三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．