Question

我們知道“經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”，那么如何用（不帶刻度）直尺和圓規(guī)來作圖呢？
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在直線l上時(shí)，請你在圖上過點(diǎn)P作出l的垂線．（保留作圖痕跡，不寫作法，不寫證明）
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在直線l外時(shí)，請你根據(jù)下列作法完成作圖過程．
作法：①在l的異側(cè)任取一點(diǎn)A；
②以P為圓心，以PA為半徑作弧交l于點(diǎn)B、C；
③分別以點(diǎn)B、C為圓心，以PA為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)Q；
④連結(jié)PQ，則PQ⊥l．
（3）請你證明上述作法的正確性．（如果你添加輔導(dǎo)線，請用虛線，以區(qū)別你原來作圖痕跡）

Answer 1

考點(diǎn)：作圖—復(fù)雜作圖

專題：

分析：（1）以P為圓心任意長為半徑畫弧，交直線l，于點(diǎn)C，D，再以C，D為圓心，大于

1

2

DC為半徑畫弧，得出其交點(diǎn)E，進(jìn)而得出答案；
（2）根據(jù)畫圖步驟得出Q點(diǎn)位置即可；
（3）利用證明點(diǎn)在線段垂直平分線上的性質(zhì)進(jìn)而得出答案．

解答：解：（1）如圖1所示：

（2）如圖2所示：

（3）如圖3，連結(jié)PB、PC、QB、QC，
∵PB=PC，
∴點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，
∵QB=QC，
∴點(diǎn)Q在BC的垂直平分線上，
∴PQ是BC的垂直平分線，
∴PQ⊥l．

點(diǎn)評：此題主要考查了過直線外以及過直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線，熟練掌握基本作圖方法是解題關(guān)鍵．