Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的兩邊分別在軸、軸的正半軸上，.點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿軸以每秒個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒.將線段的中點(diǎn)繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得點(diǎn)，點(diǎn)隨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，連接.

(1)請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)求為何值時(shí)，的面積最大，最大為多少?

(3)在點(diǎn)從向運(yùn)動(dòng)的過程中，能否成為直角三角形?若能，求的值:若不能，請(qǐng)說明理由.

(4)請(qǐng)直接寫出整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)所經(jīng)過的長(zhǎng)度.

Answer 1

【答案】；；能，2或；

【解析】

（1）設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出CP的中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)相似的性質(zhì)即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)及三角形的面積公式直接求解即可；

（3）先判斷出可能為直角的角，再根據(jù)勾股定理求解；

（4）根據(jù)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路線與OB平行且相等即可解決

（1）∵點(diǎn)P從點(diǎn)出發(fā)，沿軸以每秒個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)

設(shè)CP的中點(diǎn)為F，過點(diǎn)D作DE⊥OA，垂足為E，

∵

∵F繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)D

又

（2）∵

∴當(dāng)時(shí)，最大，為4

（3）能構(gòu)成直角三角形

當(dāng)時(shí)，

由勾股定理得，

即

解得 或（舍去）

當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)D在AB上

即

∴

綜上所述，或時(shí)，能成為直角三角形

（4）當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)O處時(shí)，對(duì)應(yīng)的

當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線 的斜率 ，即無論點(diǎn)D如何運(yùn)動(dòng)，直線的斜率為固定值，即點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡始終在直線上，

∴點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路線與OB平行

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到A時(shí)， ，此時(shí) 的坐標(biāo)為

即點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段

∵點(diǎn)與點(diǎn)B,C共線

∴軸

∵四邊形為平行四邊形

∴點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路線與OB平行且相等

∵

∴點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為