Question

【題目】如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣8，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-，0），直線y=x+b過(guò)點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，以點(diǎn)P為圓心，以PA為半徑的圓交x軸于點(diǎn)C．

（1）判斷點(diǎn)B是否在⊙P上？說(shuō)明理由．

（2）求過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；并求拋物線與⊙P另外一個(gè)交點(diǎn)為D的坐標(biāo)．

（3）⊙P上是否存在一點(diǎn)Q，使以A、P、B、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】⑴點(diǎn)B在⊙P上,理由見(jiàn)解析;⑵拋物線的解析式為 ,D

⑶⊙P上不存在點(diǎn)Q，使以A、P、B、Q為頂點(diǎn)的四邊形,理由見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）通過(guò)計(jì)算PB與PA是否相等即可做出判斷；

（2）由圓的性質(zhì)確定出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可解決；

（3）分AB為菱形的對(duì)角線， AB、AP為菱形的鄰邊，AB、BP為菱形的鄰邊， 三種情況進(jìn)行討論.

試題解析：⑴∵A(－8，0)在直線上，則有b＝6

∴點(diǎn)B（0，6），即OB＝6，

在Rt△BOP中，由勾股定理得PB＝，則PB＝PA，∴點(diǎn)B在⊙P上.

⑵AC＝2PA＝，則OC＝，點(diǎn)C，拋物線過(guò)點(diǎn)A、C，則設(shè)所求拋物線為，代入點(diǎn)C，則有a＝，

拋物線的解析式為，

直線x＝是拋物線和圓P的對(duì)稱軸，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為D，由對(duì)稱可得D.

⑶當(dāng)點(diǎn)Q在⊙P上時(shí)，有PQ＝PA＝，

如圖1所示，假設(shè)AB為菱形的對(duì)角線，那么PQ⊥AB且互相平分，由勾股定理得PE＝，則2PE≠PQ，所以四邊形APBQ不是菱形.

如圖2所示，假設(shè)AB、AP為菱形的鄰邊，則AB≠AP，所以四邊形APQB不是菱形.

如圖3所示，假設(shè) AB、BP為菱形的鄰邊，則AB≠BP，所以四邊形AQPB不是菱形.

圖1 圖2 圖3

綜上所述，⊙P上不存在點(diǎn)Q，使以A、P、B、Q為頂點(diǎn)的四邊形.