Question

小明同學(xué)將直角三角形直角頂點(diǎn)置于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，兩直角邊與拋物線y=-

1

2

x²分別相交于A、B兩點(diǎn)，小明發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的連線總經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn)，則該點(diǎn)的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：

分析：設(shè)A（-m，-

1

2

m²）（m＞0），B（n，-

1

2

n²）（n＞0），過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F．易知△AEO∽△OFB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知交點(diǎn)A、B的連線段總經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn)（0，-2）．

解答：解：設(shè)A（-m，-

1

2

m²）（m＞0），B（n，-

1

2

n²）（n＞0），
設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，
則

-mk+b=- 1 2 m2① nk+b=- 1 2 n2②

，
①×n+②×m得，（m+n）b=-

1

2

（m²n+mn²）=-

1

2

mn（m+n），
∴b=-

1

2

mn．
過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，∠AEO=∠OFB=90°．
∵∠AOB=90°，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
∵∠OBF+∠BOF=90°，
∴∠AOE=∠OBF．
在△AEO與△OFB中，

∠AEO=∠OFB ∠AOE=∠OBF

，
∴△AEO∽△OFB，
∴

AE

OF

=

OE

BF

，
∴

1 2 m2

n

=

m

1 2 n2

，
∵mn≠0，
∴mn=4，
∴b=-

1

2

×4=-2，
∴A、B兩點(diǎn)的連線總經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn)（0，-2）．
故答案為（0，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．