Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（-

3

，0），B（0，2）．以O(shè)A、OB為邊作矩形AOBC，再以C為圓心，CA為半徑作⊙C交y軸于E、F兩點(diǎn)．
（1）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求線段EF的長(zhǎng)；
（3）如圖2，以AB為邊向下作等邊三角形ABM．
①求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②若以M為圓心，R為半徑的⊙M上有且只有一個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)C的距離等于2，請(qǐng)直接寫出R的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）C點(diǎn)為矩形AOBC的頂點(diǎn)，易知其橫坐標(biāo)為A點(diǎn)橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)為B點(diǎn)縱坐標(biāo)，所以坐標(biāo)易得．
（2）EF為弦，求弦通常連接CE，CF，由數(shù)據(jù)解直角三角形易得BE的長(zhǎng)，而B為EF中點(diǎn)，所以EF長(zhǎng)可得．
（3）①求坐標(biāo)常規(guī)作法就是表示其橫縱坐標(biāo)，可過點(diǎn)M分別作x軸、y軸的垂線，而由（1）（2）數(shù)據(jù)易知三角形CAE亦為等邊三角形，亦得△ABC≌△AME，由此可知EM的長(zhǎng)，且可推得△EMN為含30°角的直角三角形，則橫縱坐標(biāo)線段長(zhǎng)不難表示．
②以M為圓心，R為半徑的⊙M上有且只有一個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)C的距離等于2，則畫圖易得有且只有一點(diǎn)說明此點(diǎn)定在CM或MC的延長(zhǎng)線上，即有R+2=CM或R-2=CM，所以需先求CM．求坐標(biāo)上兩點(diǎn)的距離我們通常作關(guān)于x軸、y軸的平行線，利用直角三角形中的勾股定理求得，因?yàn)榍靶�問坐�?biāo)都已知，故CM易得，則R值可推．

解答：解：（1）C（-

3

，2）．
分析如下：
C點(diǎn)橫坐標(biāo)等于A點(diǎn)橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)等于B點(diǎn)縱坐標(biāo)，所以易得C（-

3

，2）．

（2）
如圖2，連結(jié)CE、CF，則CE=CF=CA=2，
在Rt△BCE中，
∵CB=OA=

3

，
∴BE=

CE2-CB2

=

22-( 3

)2=1．
∵CB⊥EF，
∴EF=2BE=2．

（3）
①如圖3，連結(jié)AE、CE、ME，過M作MN⊥y軸于點(diǎn)N，
在Rt△AOE中，
∵AO=

3

，OE=1，
∴AE=2=CE=AC，
∴△ACE為等邊三角形．
∵△ABM為等邊三角形，
∴AB=AM，
∴∠CAE=∠BAM=60°，
∴∠CAE-∠BAE=∠BAM-∠BAE，
∴∠CAB=∠EAM
∴△ABC≌△AME，
∴∠AEM=∠ACB=90°，ME=BC=

3

，
∴∠MEN=∠AEM-∠AEO=90°-60°=30°．
在Rt△MEN中，
∵EN=MEcos∠MEN=

3

×

3

2

=

3

2

∴ON=EN-EO=

3

2

-1=

1

2

∵M(jìn)N=MEsin∠MEN=

3

×

1

2

=

3

2

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

3

2

，-

1

2

）．

②R=

13

-2或R=

13

+2．
分析如下：

如圖4，連接CM，過點(diǎn)M作MG⊥CA，交CA的延長(zhǎng)線于G，故N點(diǎn)在GM上，
在Rt△COM中，
∵CG=CA+AG=2+

1

2

=

5

2

，GM=GN+MB=

3

+

3

2

=

3 3

2

，
∴CM=

13

．
⊙M上有且只有一個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)C的距離等于2，則此點(diǎn)定在直線CM上，且有R+2=CM或R-2=CM，
∴R=

13

-2或R=

13

+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓中弦的性質(zhì)，利用三角函數(shù)解直角三角形及圓心距等問題，隨解答稍有難度，但思路常規(guī)，耐心求解即得結(jié)果，總體來說是一道非常有質(zhì)量的題目．