【題目】如圖,已知直線a // b,點A、E在直線a上,點B、F在直線b上,∠ABC=100°,BD平分∠ABC交直線a于點D,線段EF在線段AB的左側.若將線段EF沿射線 AD的方向平移,在平移的過程中BD所在的直線與 EF所在的直線交于點P.試探索 ∠1的度數與∠EPB的度數有怎樣的關系?
為了解決以上問題,我們不妨從EF的某些特殊位置研究,最后再進行一般化.
(特殊化)
(1)如圖,當∠1=40°,且點P在直線a、b之間時,求∠EPB的度數;
(2)當∠1=70 °時,求∠EPB的度數;
(一般化)
(3)當∠1=n°時,求∠EPB的度數.(直接用含n的代數式表示)
【答案】(1)170°(2)見解析(3)①見解析②見解析
【解析】
(1)作PG∥a,根據平行線性質和角平分線性質可得∠GPB=180°-∠ABC=130°,計算即可;(2)作PG∥a,結合畫圖,分3種情況當交點P在直線a上方,∠EPB=20°;當交點P在直線a、b之間,∠EPB=160°;當交點P在直線b下方,∠EPB=20°;(3)根據(1)(2)情況,分2種情況①當n>50°時;②當n<50°時,各有3種情況.
(1)作PG∥a,
∴∠EPG=∠EFC=400
∵a∥b
∴PG∥b
∴∠GPB+∠CBD=1800
又∵BD是∠ABC平分線,且∠ABC=1000,
∴∠GPB=1800-∠ABC=1300
∴∠EPB=∠EPG+∠GPB=1700
(2)①當交點P在直線a上方,作PG∥a,
∵a∥b
∴PG∥b
∴∠EPG=∠1, ∠GPB=∠DBC
∴∠EPB=700-500=200
②當交點P在直線a、b之間,作PG∥a,
∵a∥b
∴PG∥b
∴∠GPB=∠PBC=∠ABC=500,∠BFE=∠EPG=1800-∠1
∴∠EPB=∠EPG+∠GPB=500+1800-∠1=2300-700=1600
③當交點P在直線b下方,作PG∥a,
∵a∥b
∴PG∥b
∴∠EPG=∠1, ∠GPB=∠DBC
∴∠EPB=700-500=200
(3)由(1)(2)得:①當n>500時,
交點P在直線a上方,∠EPB=n-500
交點P在直線a、b之間,∠EPB=2300-n
交點P在直線b下方,∠EPB=n-500
②當n<500時,
交點P在直線a上方,∠EPB=500-n
交點P在直線a、b之間,∠EPB=1300+n
交點P在直線b下方,∠EPB=500-n
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【題目】下面是“用三角板畫圓的切線”的畫圖過程.
如圖1,已知圓上一點A,畫過A點的圓的切線.
畫法:(1)如圖2,將三角板的直角頂點放在圓上任一點C(與點A不重合)處,使其一直角邊經過點A,另一條直角邊與圓交于B點,連接AB;
(2)如圖3,將三角板的直角頂點與點A重合,使一條直角邊經過點B,畫出另一條直角邊所在的直線AD.
所以直線AD就是過點A的圓的切線.
請回答:該畫圖的依據是_______________________________________________.
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【題目】高新一中初中校區(qū)名校+教育聯(lián)合體主題美術展在西安高新區(qū)都市之門舉辦,學校組織七年級部分學生乘車參觀展覽,若用2輛小客車和1輛大客車,則每次可運送學生95人;若用1輛小客車和2輛大客車,則每次可運送學生115人(注意:每輛小客車和大客車都坐滿).
(1)每輛小客車和大客車各能坐多少人?
(2)若現(xiàn)在要運送500名學生,計劃租用小客車輛,大客車輛,一次送完,且恰好每輛車都坐滿,請你幫學校設計出所有的租車方案.
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【題目】在“五一”期間,某公司組織318名員工到雷山西江千戶苗寨旅游,旅行社承諾每輛車安排有一名隨團導游,并為此次旅行安排8名導游,現(xiàn)打算同時租甲、乙兩種客車,其中甲種客車每輛載客45人,乙種客車每輛載客30人.
(1)請幫助旅行社設計租車方案.
(2)若甲種客車租金為800元/輛,乙種客車租金為600元/輛,旅行社按哪種方案租車最省錢?此時租金是多少?
(3)旅行前,旅行社的一名導游由于有特殊情況,旅行社只能安排7名導游隨團導游,為保證所租的每輛車安排有一名導游,租車方案調整為:同時租65座、45座和30座的大小三種客車,出發(fā)時,所租的三種客車的座位恰好坐滿,請問旅行社的租車方案如何安排?
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【題目】某中學數學興趣小組為了解本校學生對電視節(jié)目的喜愛情況,隨機調查了部分學生最喜愛哪一類節(jié)目(被調查的學生只選一類并且沒有不選擇的),并將調查結果制成了如下的兩個統(tǒng)計圖(不完整).請你根據圖中所提供的信息,完成下列問題:
(1)本次調查的學生人數為__________,娛樂節(jié)目在扇形統(tǒng)計圖中所占圓心角的度數是__________度.
(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整:
(3)若該中學有2000名學生,請估計該校喜愛動畫節(jié)目的人數.
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【題目】數軸是一個非常重要的數學工具,通過它把數和數軸上的點建立起對應關系,揭示了數與點之間的內在聯(lián)系,它是“數形結合”的基礎.已知數軸上有點A和點B,點A和點B分別表示數-20和40,請解決以下問題:
(1)請畫出數軸,并標明A、B兩點;
(2)若點P、Q分別從點A、點B同時出發(fā),相向而行,點P、Q移動的速度分別為每秒4個單位長度和2個單位長度.問:當P、Q相遇于點C時,C所對應的數是多少?
(3)若點P、Q分別從點A、點B同時出發(fā),沿x軸正方向同向而行,點P、Q移動的速度分別為每秒4個單位長度和2個單位長度.問:當P、Q相遇于點D時,D所對應的數是多少?
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【題目】“一帶一路”的戰(zhàn)略構想為國內許多企業(yè)的發(fā)展帶來了新的機遇,某公司生產A,B兩種機械設備,每臺B種設備的成本是A種設備的1.5倍,公司若投入16萬元生產A種設備,36萬元生產B種設備,則可生產兩種設備共10臺.請解答下列問題:
(1)A、B兩種設備每臺的成本分別是多少萬元?
(2)若A,B兩種設備每臺的售價分別是6萬元,10萬元,公司決定生產兩種設備共60臺,計劃銷售后獲利不低于126萬元,且A種設備至少生產53臺,求該公司有幾種生產方案;
(3)在(2)的條件下,銷售前公司決定從這批設備中拿出一部分,贈送給“一帶一路”沿線的甲國,剩余設備全部售出,公司仍獲利44萬元,贈送的設備采用水路運輸和航空運輸兩種方式,共運輸4次,水路運輸每次運4臺A種設備,航空運輸每次運2臺B種設備(運輸過程中產生的費用由甲國承擔).直接寫出水路運輸的次數.
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【題目】觀察下列等式:
=1﹣,;,……,
將以上二個等式兩邊分別相加得:
+++=1﹣+﹣+﹣=
用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題:
(1)直接寫出下列各式的計算結果:
①+++…+= ;
②+++…+= ;
(2)仿照題中的計算形式,猜想并寫出:= ;
(3)解方程:++=.
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【題目】如圖,拋物線與軸交于點A和點B(3,0),與軸交于點C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點M是拋物線在軸下方上的動點,過點M作MN//軸交直線BC于點N,求線段MN的最大值;
(3)在(2)的條件下,當MN取最大值時,在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△PBN是等腰三角形?若存在,請直接寫出所有點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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