Question

【題目】我們把一個(gè)半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個(gè)交點(diǎn)，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖所示，點(diǎn)A、B、C、D分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-3），AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標(biāo)為（1，0），半圓半徑為2．

（1）請(qǐng)你求出“蛋圓”拋物線部分的解析式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；

（2）你能求出經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的“蛋圓”切線的解析式嗎？試試看；

（3）開(kāi)動(dòng)腦筋想一想，相信你能求出經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的“蛋圓”切線的解析式．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）.

【解析】

（1）易知點(diǎn)，設(shè)解析式為兩點(diǎn)式即，將點(diǎn)D坐標(biāo)代入求解即可；

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的“蛋圓”切線CE交x軸于點(diǎn)E，連接CM，在中，由勾股定理可知OC長(zhǎng)，易知點(diǎn)C坐標(biāo)，解直角三角形可得，在中，解直角三角形可得EM長(zhǎng)，易知點(diǎn)E坐標(biāo)，設(shè)直線CE的解析式為，將點(diǎn)，坐代入求解即可；

（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)的“蛋圓”切線的解析式為，由題意可知方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，利用可得m值.

解：（1）由AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標(biāo)為（1，0），半圓半徑為2可知，

設(shè)“蛋圓”拋物線部分的解析式為，

將點(diǎn)代入得，

解得，

所以“蛋圓”拋物線部分的解析式為，自變量的取值范圍為；

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的“蛋圓”切線CE交x軸于點(diǎn)E，連接CM，

在中，，根據(jù)勾股定理得，即，

在中，

設(shè)直線CE的解析式為，

將點(diǎn)，代入得

解得

所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的“蛋圓”切線的解析式；

（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)的“蛋圓”切線的解析式為，

由題意可知方程組只有一組解，

即有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

化簡(jiǎn)得

解得或（舍去）

所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的“蛋圓”切線的解析式為.