Question

如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，P點(diǎn)在BC邊上的高AD上，且

AP

PD

=

1

2

，BP的延長(zhǎng)線交AC于E，若S_△ABC=10，則S_△ABE=

 

；S_△DEC=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線分線段成比例,三角形的面積,等腰三角形的性質(zhì),三角形中位線定理

專題：綜合題

分析：如果把△ABE與△ABC看作同高的兩個(gè)三角形，那么它們的面積之比等于底之比，即等于AE：AC．所以為了求出△ABE的面積，由于已知S_△ABC=10，只需求出AE：AC即可．為此，取EC中點(diǎn)F，連接DF．先由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出D為BC中點(diǎn)，又F為EC中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理證出DF∥BE，再由平行線分線段成比例定理求出AE：EF，進(jìn)而得出AE：AC；根據(jù)S_△BEC=S_△ABC-S_△ABE，先求出S_△BEC，再根據(jù)三角形的中線將三角形的面積二等分，得出S_△DEC．

解答：解：取EC中點(diǎn)F，連接DF．
∵AB=AC，AD為BC邊上的高，
∴D為BC中點(diǎn)．
∵F為EC中點(diǎn)，
∴DF∥BE，則DF∥PE，
∴

AE

EF

=

AP

PD

=

1

2

，
∴

AE

AC

=

1

5

．
∴

S△ABE

S△ABC

=

AE

AC

=

1

5

，
∴S_△ABE=

1

5

S_△ABC=

1

5

×10=2；
∵S_△BEC=S_△ABC-S_△ABE=10-2=8，
又∵D為BC中點(diǎn)，
∴S_△DEC=

1

2

S_△BEC=

1

2

×8=4．
故答案為2；4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平行線分線段成比例定理，等腰三角形的性質(zhì)，中位線定理及三角形面積的計(jì)算，綜合性較強(qiáng)，難度中等．