【題目】如圖,矩形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,0),拋物線y=ax2+bx+4過點(diǎn)B,C兩點(diǎn),且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為D﹣2,0),點(diǎn)P是線段CB上的動(dòng)點(diǎn),設(shè)CP=t0t10).

1)請(qǐng)直接寫出BC兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式;

2)過點(diǎn)PPE⊥BC,交拋物線于點(diǎn)E,連接BE,當(dāng)t為何值時(shí),∠PBERt△OCD中的一個(gè)角相等?

3)點(diǎn)Qx軸上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)PPM∥BQ,交CQ于點(diǎn)M,作PN∥CQ,交BQ于點(diǎn)N,當(dāng)四邊形PMQN為正方形時(shí),求t的值.

【答案】1;(2t=3;(3

【解析】試題分析:(1)由拋物線的解析式可求得C點(diǎn)坐標(biāo),由矩形的性質(zhì)可求得B點(diǎn)坐標(biāo),由B、D的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;

(2)可設(shè)Pt,4),則可表示出E點(diǎn)坐標(biāo),從而可表示出PBPE的長(zhǎng),由條件可證得△PBE∽△OCD,利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程,可求得t的值;

(3)當(dāng)四邊形PMQN為正方形時(shí),則可證得△COQ∽△QAB,利用相似三角形的性質(zhì)可求得CQ的長(zhǎng),在Rt△BCQ中可求得BQ、CQ,則可用t分別表示出PMPN,可得到關(guān)于t的方程,可求得t的值.

試題解析:

解:1)在yax2bx4中,令x0可得y4,

C04),

∵四邊形OABC為矩形,且A100),

B104),

BD坐標(biāo)代入拋物線解析式可得,

解得,

∴拋物線解析式為yx2x4;

2)由題意可設(shè)Pt,4),則Et, t2t4),

PB10t,PEt2t44t2t

∵∠BPE=∠COD90°,

當(dāng)∠PBE=∠OCD時(shí),

PBE∽△OCD,

,即BPODCOPE,

210t)=4t2t),解得t3t10(不合題意,舍去),

∴當(dāng)t3時(shí),∠PBE=∠OCD

當(dāng)∠PBE=∠CDO時(shí),

PBE∽△ODC,

,即BPOCDOPE,

410t2t2t),解得t12t10(均不合題意,舍去)

綜上所述∴當(dāng)t3時(shí),∠PBE=∠OCD;

3)當(dāng)四邊形PMQN為正方形時(shí),則∠PMC=∠PNB=∠CQB90°PMPN,

∴∠CQO+∠AQB90°,

∵∠CQO+∠OCQ90°,

∴∠OCQ=∠AQB,

RtCOQRtQAB,

,即OQAQCOAB,

設(shè)OQm,則AQ10﹣m,

m10﹣m4×4,解得m2m8

①當(dāng)m2時(shí),CQ,BQ

sinBCQ,sinCBQ,

PMPCsinPCQtPNPBsinCBQ10t),

t 10t,解得t,

②當(dāng)m8時(shí),同理可求得t,

∴當(dāng)四邊形PMQN為正方形時(shí),t的值為

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