【題目】如圖,在邊長為2的正方形ABCD中,P是BC邊上一動點(點P不與B、C重合),將△ABP沿直線AP翻折,點B落在點E處;在CD上有一點M,使得將△CMP沿直線MP翻折后,點C落在直線PE上的點F處,直線PE交CD于點N,連接MA、NA,則以下結論:①△CMP∽△BPA;②四邊形AMCB的面積最大值為2.5;③△ADN≌△AEN;④線段AM的最小值為2.5;⑤當P為BC中點時,AE為線段NP的中垂線.正確的有_____(只填序號)
【答案】①②③④
【解析】分析:①正確.只要證明∠CPM=∠PAB,∠C=∠B=90°,即可;
②正確,設PB=x,構建二次函數,利用二次函數性質解決問題即可;
③正確.根據HL即可證明;
④正確,作MG⊥AB于G,因為AM=,所以AG最小時AM最小,構建二次函數,求得AG的最小值為,AM的最小值為.
⑤錯誤,設ND=NE=y,在Rt△PCN中,利用勾股定理求出y即可解決問題.
詳解:①由翻折可知,∠APE=∠APB,∠MPC=∠MPN,
∴∠APE+∠MPF=∠CPN+∠BPE=90°,
∴∠CPM+∠APB=90°,∵∠APB+∠PAB=90°,
∴∠CPM=∠PAB,∵∠C=∠B=90°,
∴△CMP∽△BPA.故①正確;
②設PB=x,則CP=2-x,
∵△CMP∽△BPA,
∴,,
∴CM=x(2-x),
∴S四邊形AMCB= [2+x(2-x)]×2=-x2+x+2=-(x-1)2+2.5,
∴x=1時,四邊形AMCB面積最大值為2.5,故②正確;
③在Rt△ADN和Rt△AEN中,
,
∴△ADN≌△AEN.故③正確;
④作MG⊥AB于G,
∵AM=,
∴AG最小時AM最小,
∵AG=AB-BG=AB-CM=2-x(2-x)=(x-1)2+,
∴x=1時,AG最小值=,
∴AM的最小值=,故④正確.
⑤當PB=PC=PE=1時,
由折疊知,ND=NE,
設ND=NE=y,
在Rt△PCN中,(y+1)2=(2-y)2+12解得y=
∴NE=,
∴NE≠EP,故⑤錯誤,
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,過點B(6,0)的直線AB與直線OA相交于點A(4,2),與y軸相交于點C,動點M在線段OA和射線AC上運動。
(1)求直線AB的解析式;
(2)若△OMC的面積是△OAC的面積的,請直接寫出此時點M的坐標 .
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【題目】如圖是甲、乙兩人同一地點出發(fā)后,路程隨時間變化的圖象.
(1)兩個變量中, 是自變量, 是因變量;
(2)甲的速度 乙的速度(填<、=、或>);
(3)路程為150km時,甲行駛了 小時,乙行駛了 小時.
(4)甲比乙先走了 小時;在9時, 走在前面。
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠A=60°,AD=8,F是AB的中點,過點F作FE⊥AD,垂足為E,將△AEF沿點A到點B的方向平移,得到△A′E′F′.
(1)求EF的長;
(2)設P,P′分別是EF,E′F′的中點,當點A′與點B重合時,求證四邊形PP′CD是平行四邊形,并求出四邊形PP′CD的面積.
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【題目】某景區(qū)的三個景點A、B、C在同一線路上.甲、乙兩名游客從景點A出發(fā),甲步行到景點C;乙乘景區(qū)觀光車先到景點B,在B處停留一段時間后,再步行到景點C,甲、乙兩人同時到達景點C.甲、乙兩人距景點A的路程y(米)與甲出發(fā)的時間x(分)之間的函數圖象如圖所示.
(1)乙步行的速度為_ __米/分.
(2)求乙乘景區(qū)觀光車時y與x之間的函數關系式.
(3)甲出發(fā)多長時間與乙第一次相遇?
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【題目】列方程式應用題.
天河食品公司收購了200噸新鮮柿子,保質期15天,該公司有兩種加工技術,一種是加工為普通柿餅,另一種是加工為特級霜降柿餅,也可以不需加工直接銷售.相關信息見表:
品種 | 每天可加工數量(噸) | 每噸獲利(元) |
新鮮柿子 | 不需加工 | 1000元 |
普通柿餅 | 16噸 | 5000元 |
特級霜降柿餅 | 8噸 | 8000元 |
由于生產條件的限制,兩種加工方式不能同時進行,為此公司研制了兩種可行方案:
方案1:盡可能多地生產為特級霜降柿餅,沒來得及加工的新鮮柿子,在市場上直接銷售;
方案2:先將部分新鮮柿子加工為特級霜降柿餅,再將剩余的新鮮柿子加工為普通柿餅,恰好15天完成.
請問:哪種方案獲利更多?獲利多少元?
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xoy中,直線y=x+3交x軸于A點,交y軸于B點,過A、B兩點的拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于另一點C,點D是拋物線的頂點.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)點P是直線AB上方的拋物線上一點,(不與點A、B重合),過點P作x軸的垂線交x軸于點H,交直線AB于點F,作PG⊥AB于點G.求出△PFG的周長最大值;
(3)在拋物線y=﹣x2+bx+c上是否存在除點D以外的點M,使得△ABM與△ABD的面積相等?若存在,請求出此時點M的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,已知□ABCD的面積為100,P為邊CD上的任一點,E,F分別為線段AP,BP的中點,則圖中陰影部分的總面積為( )
A. 30B. 25C. 22.5D. 20
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