Question

【題目】如圖，過點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸是，點(diǎn)是拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn).

（1）求、的值；

（2）當(dāng)是直角三角形時(shí)，求的面積；

（3）設(shè)點(diǎn)在直線下方且在拋物線上，點(diǎn)、在拋物線的對(duì)稱軸上（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），且，過點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，請(qǐng)直接寫出四邊形的周長最小時(shí)點(diǎn)、、的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1），（2）或，（3），，.

【解析】

（1）把點(diǎn)代入拋物線得，再根據(jù)對(duì)稱軸是，即可求出a、b的值；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，根據(jù)拋物線得頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，再根據(jù)是直角三角形分三種情況討論利用勾股定理來求出相應(yīng)的m值；（3）設(shè)P點(diǎn)（x，），Q（x,）,求得 ，當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)是，要使四邊形的周長最小，已求出，為定長，，故只需最小即可，

將點(diǎn)向下平移3個(gè)單位長度，得點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是符合條件的點(diǎn)，此時(shí)四邊形的周長最小，利用待定系數(shù)法確定過和點(diǎn)的直線，求出與二次函數(shù)對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為N點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故可求出點(diǎn)、、的坐標(biāo)

解：（1）∵過點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸是，

∴解之，得

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是.由（1）可得拋物線，

∴拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是.

當(dāng)時(shí)，有.

∴，解之，得，

∴；

當(dāng)時(shí)，有.

∴，解之，得，

∴；

當(dāng)時(shí)，有.

∴，此方程無解.

綜上所述，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的面積是或.

（3）設(shè)直線過點(diǎn)，可得直線.

由（1）可得拋物線，設(shè)P點(diǎn)（x，），Q（x,）

∴ ，

∴當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)是.

∴最大時(shí)，線段為定長.

∵，∴要使四邊形的周長最小，只需最小.

將點(diǎn)向下平移3個(gè)單位長度，得點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是符合條件的點(diǎn)，此時(shí)四邊形的周長最小.

設(shè)直線過點(diǎn)和點(diǎn)，則解之，得

∴直線過點(diǎn)和點(diǎn).

解方程組得

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

所以點(diǎn)、、的坐標(biāo)分別為，，.