Question

【題目】如圖1，△CEF的頂點C、E、F分別與正方形ABCD的頂點C、A、B重合．

（1）若正方形的邊長為，用含的代數式表示：正方形ABCD的周長等于 ，△CEF的面積等于 ．

（2）如圖2，將△CEF繞點A順時針旋轉，邊CE和正方形的邊AD交于點P． 連結AE， 設旋轉角∠BCF=β．

①試證：∠ACF=∠DCE；

②若△AEP有一個內角等于60°，求β的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①見解析；②=15°

【解析】

（1）由正方形的性質和三角形面積公式可求解；
（2）①由正方形的性質可得∠ACB=∠ACD=45°，由旋轉的性質可得∠BCF=∠ACE，即可得結論；
②分三種情況討論，由三角形內角和定理可求解．

（1）∵正方形的邊長為a
∴正方形ABCD的周長=4a，△CEF的面積=，
故答案為：4a，，
（2）①四邊形ABCD是正方形
∴∠ACB=∠ACD=45°=∠DAC，
∵將△CEF繞點C順時針旋轉，
∴∠BCF=∠ACE=β，AC=CE
∴∠ACF=∠DCE
②若∠APE=60°，
∴∠ACE=∠APE-∠DAC=60°-45°=15°
∴∠BCF=β=15°
若∠AEP=60°，且AC=EC
∴△AEC是等邊三角形
∴∠ACE=60°
∴∠BCF=β=60°

P在AD延長線上，不符合題意舍去，

若∠EAP=60°，
∴∠EAC=105°，且AC=CE，
∴∠EAC=∠AEC=105°
∴∠EAC+∠AEC+∠ACE＞180°
∴不合題意舍去，

故答案為β=15°.