Question

【題目】如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A（-1，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)P是拋物線在第一象限上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H，交線段BC于點(diǎn)Q．

（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)PQ=2QH時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)PH最大時(shí)，連接AP，AP與BC交于點(diǎn)D，點(diǎn)F是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且∠AFC=45°，點(diǎn)G在拋物線上，直線FG、FC分別與直線PH交于點(diǎn)M、N．當(dāng)三角形ABD相似三角形FMN時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或或或．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）先根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，然后根據(jù)建立等式求解即可；

（3）在（2）的基礎(chǔ)上，先利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，在利用二次函數(shù)的性質(zhì)、正切函數(shù)值得出，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分三種情況：①當(dāng)時(shí)、②當(dāng)時(shí)、③當(dāng)時(shí)，先分別利用相似三角形的性質(zhì)確認(rèn)點(diǎn)F在直線PA上，再利用相似三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，從而可得直線CN的解析式，然后聯(lián)立直線PA、CN的解析式可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法可求出直線FG的解析式，最后聯(lián)立二次函數(shù)與直線FG的解析式即可得．

（1）將代入得

解得

故拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為；

（2）對(duì)于

當(dāng)時(shí)，，解得或

則點(diǎn)B的坐標(biāo)為

設(shè)直線BC的解析式為

將代入得，解得

則直線BC的解析式為

設(shè)，則，，且

因此有，

由得：

解得或（不符題意，舍去）

此時(shí)，

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

（3）由（2）可知，

由二次函數(shù)的性質(zhì)得：當(dāng)時(shí)，PH取得最大值，最大值為4

則，

設(shè)直線PA的解析式為

將，代入得，解得

則直線PA的解析式為

聯(lián)立，解得

是等腰直角三角形，

，

由兩點(diǎn)之間的距離公式得：

由二次函數(shù)的對(duì)稱性可知，

，

在中，

在中，

，即

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，分以下三種情況：

①當(dāng)時(shí)

則點(diǎn)F不可能位于第一象限，不符題意

②如圖1，當(dāng)時(shí)

設(shè)AF與BC的交點(diǎn)為點(diǎn)Q

點(diǎn)F是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且

點(diǎn)F在外接圓位于第一象限的弧上

由圓周角定理得：

又

則當(dāng)三角形ABD相似三角形FMN時(shí)，與也相似或完全重合

與找不出兩組對(duì)應(yīng)相等的角

即與不可能相似，只能是完全重合

點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合

則點(diǎn)F在直線PA：上，

，即

解得

，即

設(shè)直線CN的解析式為

將，代入得：，解得

則直線CN的解析式為

聯(lián)立，解得

則

又

，即

則可設(shè)直線FG的解析式為

點(diǎn)代入得，解得

則直線FG的解析式為

聯(lián)立，解得

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

則此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為或

③如圖2，當(dāng)時(shí)

同②可得：點(diǎn)F在直線PA：上，，

又

可設(shè)直線FG的解析式為

將點(diǎn)代入得：，解得

則直線FG的解析式為

聯(lián)立，解得

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

則此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為或

綜上，點(diǎn)G的坐標(biāo)為或或或．