【題目】已知二次函數(shù)y=x2﹣2mx+4m﹣8,
(1)當(dāng)x≤2時(shí),函數(shù)值y隨x的增大而減小,求m的取值范圍.
(2)以?huà)佄锞(xiàn)y=x2﹣2mx+4m﹣8的頂點(diǎn)A為一個(gè)頂點(diǎn)作該拋物線(xiàn)的內(nèi)接正三角形AMN(M,N兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)上),請(qǐng)問(wèn):△AMN的面積是與m無(wú)關(guān)的定值嗎?若是,請(qǐng)求出這個(gè)定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)若拋物線(xiàn)y=x2﹣2mx+4m﹣8與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù),求整數(shù)m的最小值.
【答案】(1)m≥2;(2)△AMN是邊長(zhǎng)為2 的正三角形,S△AMN=3,與m無(wú)關(guān);(3)m=2.
【解析】試題分析:(1)求出二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸x=m,由于拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上,在對(duì)稱(chēng)軸的左邊y隨x的增大而減小,可以求出m的取值范圍.
(2)在拋物線(xiàn)內(nèi)作出正三角形,求出正三角形的邊長(zhǎng),然后計(jì)算三角形的面積,得到△AMN的面積是m無(wú)關(guān)的定值.
(3)當(dāng)y=0時(shí),求出拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo),然后確定整數(shù)m的值.
試題解析:(1)二次函數(shù)y=x2-2mx+4m-8的對(duì)稱(chēng)軸是:x=m.
∵當(dāng)x≤2時(shí),函數(shù)值y隨x的增大而減小,
而x≤2應(yīng)在對(duì)稱(chēng)軸的左邊,
∴m≥2.
(2)如圖:頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m,-m2+4m-8)
△AMN是拋物線(xiàn)的內(nèi)接正三角形,
MN交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)B,tan∠AMB=tan60°=,
則AB=BM=BN,
設(shè)BM=BN=a,則AB=a,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m+a, a-m2+4m-8),
∵點(diǎn)M在拋物線(xiàn)上,
∴a-m2+4m-8=(m+a)2-2m(m+a)+4m-8,
整理得:a2-a=0
得:a=(a=0舍去)
所以△AMN是邊長(zhǎng)為2的正三角形,
S△AMN=×2×3=3,與m無(wú)關(guān);
(3)當(dāng)y=0時(shí),x2-2mx+4m-8=0,
解得:,
∵拋物線(xiàn)y=x2-2mx+4m-8與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù),
∴(m-2)2+4應(yīng)是完全平方數(shù),
∴m的最小值為:m=2.
考點(diǎn): 二次函數(shù)綜合題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC的頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在第一象限,點(diǎn)C在第四象限,點(diǎn)B在x軸的正半軸上.∠OAB=90°且OA=AB,OB=6,OC=5.點(diǎn)P是線(xiàn)段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)O,B重合),過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)與y軸平行,直線(xiàn)交邊OA或邊AB于點(diǎn)Q,交邊OC或邊BC于點(diǎn)R.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,線(xiàn)段QR的長(zhǎng)度為m.已知t=4時(shí),直線(xiàn)恰好過(guò)點(diǎn)C.
(1)求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)0<t<3時(shí),求m關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)m=3.5時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知,于,為中點(diǎn),連接,將向右平移到,使與重合,與重合,與重合,連接,,,若為的高的交點(diǎn),,,則到的距離為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】兩條平行直線(xiàn)上各有個(gè)點(diǎn),用這對(duì)點(diǎn)按如下的規(guī)則連接線(xiàn)段:①平行線(xiàn)之間的點(diǎn)在連線(xiàn)段時(shí),可以有共同的端點(diǎn),但不能有其它交點(diǎn);②符合①要求的線(xiàn)段必須全部畫(huà)出;圖1展示了當(dāng)時(shí)的情況,此時(shí)圖中三角形的個(gè)數(shù)為0;圖2展示了當(dāng)時(shí)的一種情況,此時(shí)圖中三角形的個(gè)數(shù)為2;圖3展示了當(dāng)時(shí)的一種情況,此時(shí)圖中三角形的個(gè)數(shù)為4;試猜想當(dāng)時(shí),按照上述規(guī)則畫(huà)出的圖形中,三角形最少有____個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,天星山山腳下西端A處與東端B處相距800(1+)米,小軍和小明同時(shí)分別從A處和B處向山頂C勻速行走.已知山的西端的坡角是45°,東端的坡角是30°,小軍的行走速度為米/秒.若小明與小軍同時(shí)到達(dá)山頂C處,則小明的行走速度是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】五一期間,小明隨父母到某旅游勝地參觀游覽,他在游客中心O處測(cè)得景點(diǎn)A在其北偏東72°方向,測(cè)得景點(diǎn)B在其南偏東40°方向.小明從游客中心走了2千米到達(dá)景點(diǎn)A,已知景點(diǎn)B正好位于景點(diǎn)A的正南方向,求景點(diǎn)A與B之間的距離.(結(jié)果精確到0.1千米)
(參考數(shù)據(jù):sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,sin40°≈0.64,tan40°≈0.84)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(1,0),(3,0),現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A,B分別向上平移2個(gè)單位,再向右平移1個(gè)單位,分別得到點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C,D,連接AC,BD.
(1)求點(diǎn)C,D的坐標(biāo)及四邊形ABDC的面積S四邊形ABDC;
(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)P,連接PA,PB,使S△PAB=S四邊形ABDC?若存在這樣一點(diǎn),求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,試說(shuō)明理由;
(3)點(diǎn)P是直線(xiàn)BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PC、PO,當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)BD上運(yùn)動(dòng)時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出∠OPC與∠PCD、∠POB的數(shù)量關(guān)系.
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【題目】如圖1,點(diǎn)C為線(xiàn)段AB上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合),分別以AC、BC為一腰在AB的同側(cè)作等腰△ACD和△BCE,CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE=30°,連接AE交CD于點(diǎn)M,連接BD交CE于點(diǎn)N,AE與BD交于點(diǎn)P,連接CP.
(1)線(xiàn)段AE與DB的數(shù)量關(guān)系為 ;請(qǐng)直接寫(xiě)出∠APD= ;
(2)將△BCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置,其他條件不變,探究線(xiàn)段AE與DB的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;求出此時(shí)∠APD的度數(shù);
(3)在(2)的條件下求證:∠APC=∠BPC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在某建筑物AC上,掛著一宣傳條幅BC,站在點(diǎn)F處,測(cè)得條幅頂端B的仰角為300,往條幅方向前行20米到達(dá)點(diǎn)E處,測(cè)得條幅頂端B的仰角為600,求宣傳條幅BC的長(zhǎng).(,結(jié)果精確到0.1米)
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