Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝x+4的圖象與x軸交于點B，與y軸交于點C，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（2，0）和點C，拋物線與x軸交于點A和點E（點A在點E的左側(cè)），連接AC，將△ABC沿AC折疊，得到點B的對應(yīng)點為點D．

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）求點D坐標，并判定點D是否在該二次函數(shù)的圖象上；

（3）①在線段AC上找一點F，使得△OBF的周長最小，直接寫出此時點F的坐標．②在①的基礎(chǔ)上，過點F的一條直線與拋物線對稱軸右側(cè)部分交于點N，交線段AD于點M，連接NA、ND，使△AMF與△AMN的面積比為4：1，請直接寫出△AND的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D（5，4），點D是否在該二次函數(shù)的圖象上；（3）①F；②△AND的面積為．

【解析】

（1）先根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出點C坐標，再利用待定系數(shù)法即可得；

（2）先根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出點B坐標，再根據(jù)點坐標可得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)可得CD∥AB，CD＝AB＝5，從而可得點D坐標，然后根據(jù)二次函數(shù)的解析式即可得出答案；

（3）①先由題（2）的結(jié)論得出點B、D關(guān)于AC對稱，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)、兩點之間線段最短得出，的周長最小時，點F的位置，然后利用待定系數(shù)法求出AC、OD的解析式，聯(lián)立求解即可得點F坐標；

②先根據(jù)“△AMF與△AMN的面積比為4：1”求出FM＝4MN，再利用待定系數(shù)法求出AD的解析式，從而可得的長，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得NH的長，最后利用點A、D坐標和三角形的面積公式即可得．

（1）∵一次函數(shù)的圖象與y軸交于點C

∴

∵點在二次函數(shù)的圖象上

∴，解得

故二次函數(shù)的解析式為；

（2）如圖1，對于一次函數(shù)

令y＝0，則

∴

∴

∵

∴

∴BC＝AB

由折疊的性質(zhì)可知，BC＝CD，AB＝AD

∴AB＝AD＝CD＝BC

∴四邊形ABCD是菱形

∴CD∥AB，CD＝AB＝5

∴點D橫坐標為5，縱坐標與點C縱坐標相等

由（1）知，二次函數(shù)的解析式為

當x＝5時，

∴點D在二次函數(shù)的圖象上

故點D坐標為，且在二次函數(shù)的圖象上；

（3）①如圖2，連接FD、BD

由（2）知，四邊形ABCD是菱形

∴點B關(guān)于AC的對稱點為D

的周長為

由兩點之間線段最短得，當點在一條線上時，的周長最小

∴直線OD的解析式為

∴直線AC的解析式為

聯(lián)立OD、AC的函數(shù)解析式得

解得

∴；

②如圖3，由①知，

∵△AMF與△AMN的面積比為

∴FM＝4MN

∵

∴直線AD的解析式為

過點F作軸，交DA的延長線于點

將代入得，

∴

過點N作NH∥y軸，交AD于H

∴

∴

∴

∴

設(shè)點A橫坐標為，點D橫坐標為

∴

故△AND的面積為．