Question

【題目】定義：到三角形的兩邊距離相等的點，叫做此三角形的準(zhǔn)內(nèi)心．

（1）求證：等腰三角形底邊的中點是它的準(zhǔn)內(nèi)心；

（2）如圖，在△ABC中，以AC為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作⊙O的切線EF，分別交AB與AC的延長線于點E，F．若點D是△ABC的準(zhǔn)內(nèi)心，AE＝6，tan∠CFD＝，求EB的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）EB＝

【解析】

（1）要證等腰三角形底邊的中點是它的準(zhǔn)內(nèi)心即證明底邊中點到兩腰的距離相等，添加輔助線，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合已知條件可判斷出△BDM≌△CDN，即可知DM＝DN，結(jié)論得證;（2）由圖可知EB＝AB﹣AE，題中已知AE＝6，故只用求出AB即可，因為tan∠CFD＝，很明顯需要直角三角形，因此可連接OD，EF是⊙O的切線，所以OD⊥EF，出現(xiàn)直角，而已知的邊是AE的長可以證明AE⊥EF，根據(jù)正切值可求出EF長，由勾股定理求出AF長，顯然,OD∥AB，可得△ODF∽△AEF，相似三角形對應(yīng)線段成比例即可求出OD長，AB長可相應(yīng)得出.

（1）已知：△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，

求證：D是△ABC的準(zhǔn)內(nèi)心；

證明：DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，如圖1所示：

則∠DMB＝∠DNC＝90°，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵D是BC的中點，

∴BD＝CD，

在△BDM和△CDN中，

，

∴△BDM≌△CDN（AAS），

∴DM＝DN，

∴D是△ABC的準(zhǔn)內(nèi)心；

（2）連接OD，如圖2所示：

∵OA＝OC＝OD，

∴OD＝AC，

∵點D是△ABC的準(zhǔn)內(nèi)心，

∴點D到AB、AC的距離相等，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∴∠B＝∠C，

∴AB＝AC，

∴BD＝CD，

∵OA＝OC，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥AB，

∵EF是⊙O的切線，

∴OD⊥EF，

∴AB⊥EF，

∵tan∠CFD＝＝，

∴EF＝＝8，

∴AF＝＝10，

∵OD∥AB，

∴△ODF∽△AEF，

∴＝，即＝，

解得：OD＝，

∴AB＝AC＝2OD＝，

∴EB＝AB﹣AE＝﹣6＝．