Question

問(wèn)題探究：

（一）新知學(xué)習(xí)：

圓內(nèi)接四邊形的判斷定理：如果四邊形對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形內(nèi)接于圓（即如果四邊形EFGH的對(duì)角互補(bǔ)，那么四邊形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)E、F、G、H都在同個(gè)圓上）．

（二）問(wèn)題解決：

已知⊙O的半徑為2，AB，CD是⊙O的直徑．P是上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作AB，CD的垂線，垂足分別為N，M．

（1）若直徑AB⊥CD，對(duì)于上任意一點(diǎn)P（不與B、C重合）（如圖一），證明四邊形PMON內(nèi)接于圓，并求此圓直徑的長(zhǎng)；

（2）若直徑AB⊥CD，在點(diǎn)P（不與B、C重合）從B運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程匯總，證明MN的長(zhǎng)為定值，并求其定值；

（3）若直徑AB與CD相交成120°角．

①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)P₁時(shí)（如圖二），求MN的長(zhǎng)；

②當(dāng)點(diǎn)P（不與B、C重合）從B運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程中（如圖三），證明MN的長(zhǎng)為定值．

（4）試問(wèn)當(dāng)直徑AB與CD相交成多少度角時(shí)，MN的長(zhǎng)取最大值，并寫出其最大值．

 

Answer 1

解：（1）如圖一，

∵PM⊥OC，PN⊥OB，

∴∠PMO=∠PNO=90°，

∴∠PMO+∠PNO=180°，

∴四邊形PMON內(nèi)接于圓，直徑OP=2；

（2）如圖一，

∵AB⊥OC，即∠BOC=90°，

∴∠BOC=∠PMO=∠PNO=90°，

∴四邊形PMON是矩形，

∴MN=OP=2，

∴MN的長(zhǎng)為定值，該定值為2；

（3）①如圖二，

∵P₁是的中點(diǎn)，∠BOC=120°

∴∠COP₁=∠BOP₁=60°，∠MP₁N=60°．

∵P₁M⊥OC，P₁N⊥OB，

∴P₁M=P₁N，

∴△P₁MN是等邊三角形，

∴MN=P₁M．

∵P₁M=OP₁•sin∠MOP₁=2×sin60°=，

∴MN=；

②設(shè)四邊形PMON的外接圓為⊙O′，連接NO′并延長(zhǎng)，

交⊙O′于點(diǎn)Q，連接QM，如圖三，

則有∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，

在Rt△QMN中，sin∠MQN=，

∴MN=QN•sin∠MQN，

∴MN=OP•sin∠MQN=2×sin60°=2×=，

∴MN是定值．

（4）由（3）②得MN=OP•sin∠MQN=2sin∠MQN．

當(dāng)直徑AB與CD相交成90°角時(shí)，∠MQN=180°﹣90°=90°，MN取得最大值2．