【題目】如圖,將長方形OABC置于平面直角坐標系中,點A的坐標為(0,4),點C的坐標為(m,0)(m>0),點D(m,1)在BC上,將長方形OABC沿AD折疊壓平,使點B落在坐標平面內(nèi),設點B的對應點為點E.
(1)當m=3時,點B的坐標為_________,點E的坐標為_________;
(2)隨著m的變化,試探索:點E能否恰好落在x軸上?若能,請求出m的值;若不能,請說明理由.
【答案】(1)(3,4),(0,1);(2)點E能恰好落在x軸上,理由見解析.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)點A、點D、點C的坐標和矩形的性質(zhì)可以得到點B和點E的坐標;
(2)由折疊的性質(zhì)求得線段DE和AE的長,然后利用勾股定理得到有關(guān)m的方程,求得m的值即可.
試題解析:(1)點B的坐標為(3,4),
∵AB=BD=3,
∴△ABD是等腰直角三角形,
∴∠BAD=45°,
則∠DAE=∠BAD=45°,
則E在y軸上.
AE=AB=BD=3,
∴四邊形ABDE是正方形,OE=1,
則點E的坐標為(0,1);
(2)點E能恰好落在x軸上.理由如下:
∵四邊形OABC為矩形,
∴BC=OA=4,∠AOC=∠DCE=90°,
由折疊的性質(zhì)可得:DE=BD=OA-CD=4-1=3,AE=AB=OC=m,
假設點E恰好落在x軸上,在Rt△CDE中,由勾股定理可得EC=
則有OE=OC-CE=m-2
在Rt△AOE中,OA2+OE2=AE2
即42+(m-2)2=m2
解得m=3.
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【題目】(1)拋物線經(jīng)過點A (4,0),點B (1,-3) ,求該拋物線的解析式;
(2)如圖,要修建一個圓形噴水池,在池中心豎直安裝一根水管,在水管的頂端安一個噴水頭,使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高,高度為3m,水柱落地處離池中心3m,水管應多長?
(3)如圖,點P(>0),在軸正半軸上,過點P作平行于軸的直線,分別交拋物線于點A,B,交拋物線于點C,D,求的值.
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【題目】如圖,直線y1=-x-2交x軸于點A,交y軸于點B,拋物線y2=ax2+bx+c的頂點為A,且經(jīng)過點B.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)求當y1≥y2時x的值.
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【題目】一副直角三角板如圖放置,點C在FD的延長線上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,試求CD的長.
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【題目】(10分)如圖①,在△ABC中,∠ACB=2∠B,AD為∠BAC的角平分線,
求證:AB=AC+CD
小明同學經(jīng)過思考,得到如下解題思路:
在AB上截取AE=AC,連接DE,得到△ADE≌△ADC,從而易證AB=AC+CD
(1)請你根據(jù)以上解思路寫出證明過程;
(2)如圖②,若AD為△ABC的外角∠CAE平分線,交BC的延長線于點D,
∠D=25°,其他條件不變,求∠B的度數(shù)。
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【題目】某市人民廣場上要建一個圓形的噴水池,并在水池中央垂直安裝一個柱子OP,柱子頂端P處裝上噴頭,由P處向外噴出的水流(在各個方向上)沿形狀相同的拋物線路徑落下(如圖所示).若已知OP=3米,噴出的水流的最高點A距水平面的高度是4米,離柱子OP的距離為1米.
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)若不計其它因素,水池的半徑至少要多少米,才能使噴出的水流不至于落在池外.
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【題目】如圖①,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α,AD,BE相交于點M,連接CM.
(1)求證:BE=AD;
(2)用含α的式子表示∠AMB的度數(shù);
(3)當α=90°時,取AD,BE的中點分別為點P,Q,連接CP,CQ,PQ,如圖②,判斷△CPQ的形狀,并加以證明.
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【題目】下列事件:
①在足球賽中,弱隊戰(zhàn)勝強隊.
②拋擲1枚硬幣,硬幣落地時正面朝上.
③任取兩個正整數(shù),其和大于1
④長為3cm,5cm,9cm的三條線段能圍成一個三角形.
其中確定事件有( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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