【題目】(如圖 1,若拋物線 l1 的頂點(diǎn) A 在拋物線 l2 上,拋物線 l2 的頂點(diǎn) B 也在拋物線 l1 上(點(diǎn) A 與點(diǎn) B 不重合).我們稱拋物線 l1,l2 互為“友好”拋物線,一條拋物線的“友 好”拋物線可以有多條.
(1)如圖2,拋物線 l3: 與y 軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,則點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 ;
(2)求以點(diǎn) D 為頂點(diǎn)的 l3 的“友好”拋物線 l4 的表達(dá)式,并指出 l3 與 l4 中y 同時(shí)隨x增大而增大的自變量的取值范圍;
(3)若拋物線 y=a1(x-m)2+n 的任意一條“友好”拋物線的表達(dá)式為 y=a2(x-h)2+k, 寫出 a1 與a2的關(guān)系式,并說明理由.
【答案】(1);(2)的函數(shù)表達(dá)式為,;(3),理由詳見解析
【解析】
(1)設(shè)x=0,求出y的值,即可得到C的坐標(biāo),根據(jù)拋物線L3:得到拋物線的對(duì)稱軸,由此可求出點(diǎn)C關(guān)于該拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)由(1)可知點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,1),再由條件以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的L3的“友好”拋物線L4的解析式,可求出L4的解析式,進(jìn)而可求出L3與L4中y同時(shí)隨x增大而增大的自變量的取值范圍;
(3)根據(jù):拋物線L1的頂點(diǎn)A在拋物線L2上,拋物線L2的頂點(diǎn)B也在拋物線L1上,可以列出兩個(gè)方程,相加可得(a1+a2)(h-m)2=0.可得.
解:(1)∵拋物線l3:,
∴頂點(diǎn)為(2,-1),對(duì)稱軸為x=2,
設(shè)x=0,則y=1,
∴C(0,1),
∴點(diǎn)C關(guān)于該拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)D的坐標(biāo)為:(4,1);
(2)解:設(shè)的函數(shù)表達(dá)式為
由“友好”拋物線的定義,過點(diǎn)
的函數(shù)表達(dá)式為
與中同時(shí)隨增大而增大的自變量的取值范圍是
(3)
理由如下:
∵ 拋物線與拋物線互為“友好”拋物線,
①+②得:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=x,點(diǎn)O1的坐標(biāo)為(1,0),以O1為圓心,O1O為半徑畫圓,交直線l于點(diǎn)P1,交x軸正半軸于點(diǎn)O2,以O2為圓心,O2O為半徑畫圓,交直線l于點(diǎn)P2,交x軸正半軸于點(diǎn)O3,以O3為圓心,O3O為半徑畫圓,交直線l于點(diǎn)P3,交x軸正半軸于點(diǎn)O4;…按此做法進(jìn)行下去,其中的長(zhǎng)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高中進(jìn)行“選科走班”教學(xué)改革,語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三門為必修學(xué)科,另外還需從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理(分別記為A、B、C、D、E、F)六門選修學(xué)科中任選三門,現(xiàn)對(duì)該校某班選科情況進(jìn)行調(diào)查,對(duì)調(diào)查結(jié)果進(jìn)行了分析統(tǒng)計(jì),并制作了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
請(qǐng)根據(jù)以上信息,完成下列問題:
(1)該班共有學(xué)生人;
(2)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)該班某同學(xué)物理成績(jī)特別優(yōu)異,已經(jīng)從選修學(xué)科中選定物理,還需從余下選修學(xué)科中任意選擇兩門,請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法,求出該同學(xué)恰好選中化學(xué)、歷史兩科的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C是弧AB的中點(diǎn),弦CD與AB相交于E.
(1)若∠AOD=45°,求證:CE=ED;(2)若AE=EO,求tan∠AOD的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,圓形紙片⊙O半徑為 5,先在其內(nèi)剪出一個(gè)最大正方形,再在剩余部分剪出 4個(gè)最大的小正方形,則 4 個(gè)小正方形的面積和為_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,分別是的中點(diǎn),,連接交于點(diǎn).
(1)求證:;
(2)過點(diǎn)作于點(diǎn),交于點(diǎn),若,求的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一位籃球運(yùn)動(dòng)員在離籃圈水平距離4處跳起投籃,球運(yùn)行的高度()與運(yùn)行的水平距離()滿足解析式,當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為1.5時(shí),球離地面高度為3.3,球在空中達(dá)到最大高度后,準(zhǔn)確落入籃圈內(nèi).已知籃圈中心離地面距離為3.05.
(1)當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為多少時(shí),達(dá)到最大高度?最大高度為多少?
(2)若該運(yùn)動(dòng)員身高1.8,這次跳投時(shí),球在他頭頂上方0.25處出手,問球出手時(shí),他跳離地面多高?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線是線段的垂直平分線,交線段于點(diǎn),在下方的直線上取一點(diǎn),連接,以線段為邊,在上方作正方形,射線交直線于點(diǎn),連接.
(1)設(shè),求的度數(shù);
(2)寫出線段、之間的等量關(guān)系,并證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知菱形ABCD兩條對(duì)角線BD與AC的長(zhǎng)之比為3:4,周長(zhǎng)為40cm,求菱形的高及面積.
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