Question

如圖，在△ABC中，BE、CF是中線，且BE⊥CF，AC=b，AB=c（c＞b）
（1）求BC的長；
（2）若△ABC存在，討論

b

c

的取值范圍．

Answer 1

考點：三角形邊角關(guān)系

專題：

分析：（1）O為△ABC重心，設(shè)OE=x，OF=y，則BO=2x，CO=2y，在Rt△COE、Rt△BOF、Rt△BOC中分別利用勾股定理，即可表示出BC的長．
（2）若△ABC存在，則c+b＞BC和c-b＜BC，由此得出不等式，解不等式，可得

b

c

的取值范圍．

解答：解：（1）O為△ABC重心，設(shè)OE=x，OF=y，則BO=2x，CO=2y，
在Rt△COE、Rt△BOF、Rt△BOC中，有：

x2+4y2= 1 4 b2 ① y2+4x2= 1 4 c2 ② 4x2+4y2=BC2 ③

，
②-①得，3x²=BC²-

1

4

b²，
4×②-③，得：12x²=c²-BC²，
∴BC=

1

5

5(c2+b2)

；

（2）若△ABC存在，則c+b＞BC和c-b＜BC，
得：

(c+b)2＞ 1 5 (c2+b2) ④ (c-b)2＜ 1 5 (c2+b2) ⑤

，
不等式④恒成立，不等式⑤2b²-5bc+2c²＜0，
解得：

1

2

＜

b

c

＜2，
故當(dāng)

1

2

＜

b

c

＜2時這樣的三角形成立．

點評：本題考查了三角形的三邊關(guān)系，涉及了勾股定理、重心的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系，解答本題需要同學(xué)們熟練掌握基礎(chǔ)知識，掌握數(shù)形結(jié)合思想的運用．