Question

如圖，AD是△ABC的中線，
（1）求證：AB+AC＞2AD；
（2）過點D作DE∥AB交AC于E，過點D作DF∥AC交AB于F，求證：DE=

1

2

AB．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),三角形三邊關(guān)系,三角形中位線定理

專題：證明題

分析：（1）延長AD到E使AD=DM，連接BM，利用已知條件可證明△BDM≌△ADC，所以AM=2AD，BM=AC，由三角形的三邊關(guān)系定理即可證明AB+AC＞2AD；
（2）根據(jù)三角形中位線定理即可證明DE=

1

2

AB．

解答：證明：（1）延長AD到E使AD=DM，連接BM，
∵AD是△ABC的中線，
∴BD=CD，
在△BDM和△ADC中

BD=CD ∠BDM=∠ADC DM=DA

，
∴△BDM≌△ADC，
∴AC=BM，AM=2AD，
∵AB+BM＞AM，
∴AB+AC＞2AD；
（2）∵DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DE=AF，
∵BD=CD，
∴BF=AF，
∴DE=

1

2

AB．

點評：本題考查了全等三角形的判斷和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系定理以及三角形中位線定理，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等．