Question

【題目】如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（P與A、C不重合），點(diǎn)E在線段BC上，且PE=PB．

（1）求證：①PE=PD；②PE⊥PD；

（2）設(shè)AP=x，△PBE的面積為y．

①求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；

②當(dāng)x取何值時(shí)，y取得最大值，并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

【答案】（1）①證明見(jiàn)解析，②證明見(jiàn)解析；

（2）①y=﹣x2+x．（0＜x＜）；②當(dāng)x=時(shí)，y最大值=．

【解析】試題分析：（1）可通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)求解．過(guò)點(diǎn)P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F，那么可通過(guò)證三角形GPD和EFP全等來(lái)求PD=PE以及PE⊥PD．在直角三角形AGP中，由于∠CAD=45°，因此三角形AGP是等腰直角三角形，那么AG=PG，而PB=PE，PF⊥BE，那么根據(jù)等腰三角形三線合一的特點(diǎn)可得出BF=FE=AG=PG，同理可得出兩三角形的另一組對(duì)應(yīng)邊DG，PF相等，因此可得出兩直角三角形全等．可得出PD=PE，∠GDP=∠EPF，而∠GDP+∠GPD=90°，那么可得出∠GPD+∠EPF=90°，由此可得出PD⊥PE．（2）求三角形PBE的面積，就要知道底邊BE和高PF的長(zhǎng)，（1）中已得出BF=FE=AG，那么可用AP在等腰直角三角形AGP中求出AG，GP即BF，FE的長(zhǎng)，那么就知道了底邊BE的長(zhǎng)，而高PF=CD-GP，也就可求出PF的長(zhǎng)，可根據(jù)三角形的面積公式得出x，y的函數(shù)關(guān)系式．然后可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍求出y的最大值以及對(duì)應(yīng)的x的取值．

試題解析：（1）①過(guò)點(diǎn)P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F．如圖所示：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形，

△AGP和△PFC都是等腰直角三角形．

∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°．

又∵PB=PE，

∴BF=FE，

∴GP=FE，

∴△EFP≌△PGD（SAS）．

∴PE=PD．

②∴∠1=∠2．

∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°．

∴∠DPE=90°．

∴PE⊥PD．

（2）解：①過(guò)P作PM⊥AB，

可得△AMP為等腰直角三角形，

四邊形PMBF為矩形，可得PM=BF，

∵AP=x，∴PM=x，

∴BF=PM=，PF=1﹣．

∴S△PBE=BE×PF=BFPF=x（1﹣x）=﹣x2+x．

即y=﹣x2+x．（0＜x＜）．

②y=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+

∵a=﹣＜0，

∴當(dāng)x=時(shí)，y最大值=．