Question

如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l與x軸相交于點(diǎn)P，與⊙O相交于A、B兩點(diǎn)，∠AOB=90°．點(diǎn)A和點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是方程x²-x-k=0的兩根，且兩根之差為3．
（1）求方程x²-x-k=0的兩根；
（2）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及⊙O的半徑；
（3）把直線l繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，使直線l與⊙O相切，求直線l的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)方程的兩根分別為x₁，x₂（x₁＞x₂），根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是方程x²-x-k=0的兩根，且兩根之差為3列出方程組

x1+x2=1 x1-x2=3

，再求解即可；
（2）過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，先證出△AOC≌△OBD，求出BD=OC=1，AC=OD=2，再求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，即可求出OA，
（3）設(shè)直線AB的解析式為y=k₁x+b₁，求出y=-

1

3

x+

5

3

，當(dāng)y=0時，求出P的坐標(biāo)，當(dāng)直線l與⊙O的切點(diǎn)在第一象限時，設(shè)直線l與⊙O相切于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，根據(jù)OE⊥PE，求出PE，根據(jù)S_△POE=

1

2

OP•EF=

1

2

OE•PE，求出EF，從而得出OF=1，E（1，2），設(shè)直線l的解析式為y=k₂x+b₂，則

k2+b2=2 5k1+b1=0

，
求出y=-

1

2

x+

5

2

，當(dāng)直線l與⊙O的切點(diǎn)在第四象限時，同理可求得y=

1

2

x-

5

2

．

解答：解：（1）設(shè)方程的兩根分別為x₁，x₂（x₁＞x₂），由已知得：

x1+x2=1 x1-x2=3

，
解得

x1=2 x2=-1

，
則方程的兩根分別為2和-1；

（2）過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，
在△AOC和△OBD中，

∠BDO=∠OCA ∠BOD=∠OAC OA=OB

，
∴△AOC≌△OBD（AAS）
∴BD=OC=1，AC=OD=2，
∴A（-1，2），B（2，1），
∴OA=

OC2+AC2

=

1+4

=

5

，

（3）設(shè)直線AB的解析式為y=k₁x+b₁，則

-k1+b1=2 2k1+b1=1

，
解得

k1=- 1 3 b1= 5 3

，
∴y=-

1

3

x+

5

3

，
當(dāng)y=0時，-

1

3

x+

5

3

=0，解得x=5，
∴P（5，0），
當(dāng)直線l與⊙O的切點(diǎn)在第一象限時，設(shè)直線l與⊙O相切于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，
∵PE是⊙O的切線，
∴OE⊥PE，
∴PE=

OP2-OE2

=

25-5

=2

5

，
∵S_△POE=

1

2

OP•EF=

1

2

OE•PE，
∴5EF=

5

•2

5

，
∴EF=2，
∴OF=

5-4

=1，E（1，2），
設(shè)直線l的解析式為y=k₂x+b₂，則

k2+b2=2 5k1+b1=0

，
解得

k1=- 1 2 b1= 5 2

，
∴y=-

1

2

x+

5

2

，
當(dāng)直線l與⊙O的切點(diǎn)在第四象限時，同理可求得y=

1

2

x-

5

2

．

點(diǎn)評：此題考查了圓的綜合，用到的知識點(diǎn)是全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、一次函數(shù)、切線的性質(zhì)，關(guān)鍵是做出輔助線，找出全等三角形，注意分兩種情況討論．